โจทย์ข้อนี้มันไม่ได้ง่ายขนาดนั้นครับ ประเด็นคือไม่มีเหตุผลมาประกอบการสรุปว่า $f(-a)=a$ หรือ $f(-a)=-a$ เท่านั้น
สมมติให้ $g(x)=x^2-2$ จะพิสูจน์ว่าไม่มี $f$ ที่ทำให้ $f(f(x))=g(x)$
สังเกตว่า $g$ มี fixed point 2 ค่าสมมติให้เป็น $a,b$ ดังนั้น $gog$ ก็จะมี fixed point 4 ค่า ($2,-1$ และอีกสองค่าจากสมการ $g(g(x))=x$)
เพื่อให้ง่ายต่อการเขียน สมมติให้ fixed point ของ $g$ คือ $a,b$ และ fixed point ของ $gog$ คือ $a,b,c,d$
สมมติให้ $g(c)=y$ จะได้ $g(y)=g(g(c))=c$ หรือ $g(y)=c$
เพราะฉะนั้น $g(g(y))=g(c)=y$ ทำให้ได้ว่า $y$ ก็เป็น fixed point ของ $gog$ ด้วย
ดังนั้น $y \in \left\{\,a,b,c,d\right\}$
กรณี 1. $y=a$ จะได้ว่า $g(y)=g(a)=a$ แต่ $g(y)=c$ ได้ว่า $c=a$
กรณี 2. $y=b$ จะได้ว่า $g(y)=g(b)=b$ แต่ $g(y)=c$ ได้ว่า $b=c$
กรณี 3. $y=c$ จะได้ว่า $g(y)=g(c)=c$ ได้ว่า $g(c)=c$
ซึ่งเป็นไปไม่ได้ทั้งสามกรณี (กรณีที่สามบ่งว่า $c$ เป็นอีกหนึ่ง fixed point ของ $g$ ซึ่งขัดแย้ง)
เพราะฉะนั้นต้องได้ว่า $y=d$ เท่านั้น จะได้ว่า $c=g(y)=g(d)$ หรือ $g(d)=c$
จากข้อสมมติตอนต้น $y=g(c)$ ทำให้ได้ $g(c)=d$ ด้วย
เราจะโยงข้อมูลของ g ที่ได้มาสุ่ $f$
จาก $f(f(x))=g(x)$ จะได้ $g(f(x))=f(f(f(x)))=f(g(x))$
ให้ $t \in \left\{\,a,b\right\}$ จะได้ว่า $f(t)=f(g(t))=g(f(t))$ ซึ่งหมายความว่า $f(t)$ ก็เป็น fixed point ของ $g$ ด้วย ดังนั้น $f(t) \in \left\{\,a,b\right\}$
ในทำนองเดียวกัน ถ้า $s \in \left\{\,a,b,c,d\right\}$ จะได้ $f(s) \in \left\{\,a,b,c,d\right\}$ ด้วย
พิจารณา $c$ เรามี $d=g(c)$ และ $c=g(d)$ เราจะพิจารณาค่าของ $f(c)$ เพื่อให้ได้มาซึ่งข้อขัดแย้ง
เพราะว่า $c \in \left\{\,a,b,c,d\right\}$ ดังนั้น $f(c) \in \left\{\,a,b,c,d\right\}$
กรณี 1. $f(c)=a$ จะได้ $f(a)=f(f(c))=g(c)=d$ จะได้ $f(a)=d$
จาก $g(f(a))=f(g(a))$ จะได้ $(f(a))^2-2=f(g(a))=f(a)$ หรือ $d^2-2=d$ ขัดแย้งกับ $g(d)=c$
กรณีที่ 2 $f(c)=b$ จะได้ $f(b)=f(f(c))=g(c)=d$ จะได้ $f(b)=d$
จาก $g(f(b))=f(g(b))$ จะได้ $(f(b))^2-2=f(b)$ หรือ $d^2-2=d$ ขัดแย้งกับ $g(d)=c$
กรณีที่ 3 $f(c)=c$ ในทำนองเดียวกันจะได้ $f(c)=f(f(c))=g(c)=d$ ได้ $f(c)=d$ ขัดแย้งกับที่สมมติ $f(c)=c$
กรณีที่ 4 $f(c)=d$ ได้ $f(d)=f(f(c))=g(c)=d$
จาก $g(f(d))=f(g(d))$ ได้ $g(d)=f(c)$ แต่จาก $g(d)=c$ ทำให้ได้ $f(c)=c$ ซึ่งเหมือนกรณีที่ 3
สรุปว่าไม่มี $f$ ที่ทำให้ $g(x)=f(f(x))$ ครับ
__________________
"ชั่วโมงหน้าต้องดีกว่าเดิม!"
|