ข้อ1. จากความสัมพันธ์รากกับสมการพหุนาม
$a+b+c=0..........(1)$
$abc=-1............(2)$
$ab+bc+ca=-3....(3)$
สมการ$(1)\times (3);\,(2)$ จะได้ว่า $a^2c+ab^2+bc^2+b^2c+ac^2+a^2b=3......(4)$
$\frac{(4)}{(2)}$ จะได้ $(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})+(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c})=-3$
ให้ $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=X\,;\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}=Y$
ดังนั้น $X+Y=-3\rightarrow Y=-(X+3).........(5)$
$XY=(abc)(a^3+b^3+c^3+3abc)+(a^3b^3+b^3c^3+a^3c^3)$
จากสมการ $(1)^3;\,(2);\,(4)$ จะได้ $a^3+b^3+c^3=-3$
และจากสมการ $(3)^3;\,(2);\,(4)$ จะได้ $a^3b^3+b^3c^3+a^3c^3=-24$
ดังนั้น $XY=-18.........(6)$
แทน (5) ใน (6) จะได้ $(X+3)X=18\rightarrow X^2+3X-18=0$
$(X+6)(X-3)=0\rightarrow X=-6,3$
จากการพิจารณาสมการโจทย์ $x^3-3x+1=0$ และสมการ $(1);\,(2)$
คำตอบน่าจะเป็น $-6$
ข้อ2. จาก $X>Y>143;\,Y\mid 143X$
$143=11\times 13$
$\therefore X=143\times 13;\,Y=143\times 11$
$X_{min}=143\times 13$ เป็นคำตอบ
