พิจารณาจำนวนนับตั้งแต่ 2 หลักใด ๆ ขึ้นไป จะเขียนให้อยู่ในรูป $10x + y$ ได้เสมอ เช่น $\overline{abcd} = 10\overline{abc} + d $
ในที่นี้ $x = \overline{abc}, y = d$
และพิจารณาสมภาค $10x + y \equiv 10(x \pm ny)\mod p $
เมื่อ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะใด ๆ
จะได้ว่าสมภาคดังกล่าวจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ $1 \mp 10n \equiv 0\mod p$
ตัวอย่าง 
การตรวจสอบการหารลงตัวด้วย 7
ถ้าเลือกสมภาค $1 + 10n \equiv 0\mod 7$
จะได้ $n = 2$ เป็นจำนวนเต็มที่สอดคล้องสมภาคค่าหนึ่ง
ดังนั้น
เช่น ตรวจสอบ 4088 ให้นำ 408 - 2(8) = 392 จากนั้นทำซ้ำได้เป็น 39 - 2(2) = 35 ซึ่งเห็นได้ชัดว่าหารด้วย 7 ลงตัว ดังนั้น 7 จะหาร 4088 ลงตัว เป็นต้น
แต่ถ้าเราเลือกสมภาค $1 - 10n \equiv 0\mod 7$
จะได้ $n = 5$ เป็นจำนวนเต็มที่สอดคล้องสมภาคค่าหนึ่ง
ดังนั้น
เช่น ตรวจสอบ 4088 ให้นำ 408 + 5(8) = 448 จากนั้นทำซ้ำได้เป็น 44 + 5(8) = 84 (รู้แล้วว่าหารด้วย 7 ลงตัว) หรือ จะทำซ้ำเป็น 8 + 5(4) = 28 ก็ได้
สรุป ถ้าลองเล่นในทำนองนี้จะได้ว่า
$10x + y \equiv 10(x - 2y) \mod 7 \equiv 10(x + 5y) \mod 7$
$10x + y \equiv 10(x - 9y) \mod 13 \equiv 10(x + 4y) \mod 13$
$10x + y \equiv 10(x - 5y) \mod 17 \equiv 10(x + 12y) \mod 17$
ดังนั้นการตรวจสอบการหารลงตัวด้วย 17 จะหมายความว่าอย่างไรครับ.
