อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555
มาเตรียมสอบสอวน. ค่าย ๒
- โพสต์โจทย์อะไรก็ได้เนื้อหาไม่เกินค่าย ๒ ครับ
มาเริ่มที่โจทย์คลาสสิกๆสักข้อ
ถ้า $a,b,c \in \mathbb{Z}$ และ $a+b+c=abc$ จงหา $a+b+c$ ทั้งหมดที่สอดคล้อง
|
$b+c=abc-a=a(bc-1)$
$a=\frac{b+c}{bc-1} $
เนื่องจาก a เป็นจำนวนเต็มดังนั้น
$\frac{b+c}{bc-1} $ ต้องเป็นจำนวนเต็ม และในกรณีที่ b+c เป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์
$b+c\geqslant bc-1$
$b-bc\geqslant -c-1$
$b(1-c)\geqslant -(c+1)$
$b\leqslant \frac{c+1}{c-1} =1+\frac{2}{c-1} \leqslant 3$
ดังนั้น $b\leqslant 3$ และในทำนองเดียวกันจะได้ว่า
$c\leqslant 3$ ด้วย
แทน (b,c)=(0,0) (0,1) (0,2) (0,3) (1,0) (1,1) (1,2) (1,3) (2,0) (2,1) (2,2) (2,3) (3,0) (3,1) (3,2) (3,3)
(b,c)=(0,0) a=0
(b,c)=(0,1)=(1,0) a=-1
(b,c)=(0,2)=(2,0) a=-2
(b,c)=(0,3)=(3,0) a=-3
(b,c)=(1,2)=(2,1) a=3
(b,c)=(1,3)=(3,1) a=2
(b,c)=(2,3)=(3,2) a=-1
กรณี b+c เป็นจำนวนเต็มลบ
$b+c\leqslant bc-1$
$b-bc\leqslant -c-1$
$b(1-c)\leqslant -(c+1)$
$b\geqslant \frac{c+1}{c-1} =1+\frac{2}{c-1} \geqslant -1$
ดังนั้น $b\geqslant -1$ และในทำนองเดียวกันจะได้ว่า
$c\geqslant -1$ ด้วย
แทน (b,c)=(-1,-1) (-1,0) (0,-1)
(b,c)=(-1,0)=(0,-1) a=1
ดังนั้น a+b+c ทั้งหมดที่สอดคล้อง
คือ 0,6,4