[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

$\dfrac{m}{n}=\dfrac{a}{b}$ โดย $(a,b)=1$

$N\dfrac{a}{b}= N\left(\,\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{(p-1)^2}\right) $ และ $N= ((p-1)!)^2$ จะได้ $b|N$

ให้ $N_i=\dfrac{N}{i^2}$ สำหรับ $i=1,2,...,p-1$ ดังนั้น

$N_i \equiv (i^{-1})^2 \pmod{p}$ take sum ไปทั้งสองข้างก็จะได้

$N_1+N_2+N_3+...+N_{p-2}+N_{p-1} \equiv (1^{-1})^2+(2^{-1})^2+...+((p-1)^{-1})^2 \pmod {p}$

$(1^{-1})^2+(2^{-1})^2+...+((p-1)^{-1})^2 \equiv 1^2+2^2+3^2+...+(p-1)^2 \equiv 0 \pmod{p}$

$N\left(\,\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{(p-1)^2}\right) = N_1+N_2+N_3+...+N_{p-2}+N_{p-1} \equiv 0 \pmod{p}$

จะได้ $p|a$

ดังนั้น $p|m$