[polsk133]

รบกวนช่วยดูให้ทีครับ

ข้อ8.

พิจารณาคะแนนเฉลี่ยของคะแนนรวมของทุกคนที่ต่ำสุดที่เป็นไปได้
ในการแข่งกับเพศเดียวกันจะเกิดเมื่อเกิดผลเสมอ จะได้แต้มรวมในแต่ละการแข่งขันคือ 2
ในการแข่งขันกับต่างเพศจะเกิดเมื่อเพศชายชนะหรือเสมอ จะได้แต้มรวมในแต่ละการแข่งขันคือ2

ดังนั้นค่าเฉลี่ยต่ำสุดคือ $\frac{2\binom{4n}{2}}{4n}=4n-1$

จากโจทย์กำหนดว่า ผู้ที่ได้คะแนนมากที่สุดมีคะแนนรวม 4n-1 คะแนน จะได้ว่าทุกคนต้องมีคะแนนรวม 4n-1 คะแนน

กำหนดให้ $a_i,b_i,b_i$ เป็นจำนวนครั้งที่ชนะ,เสมอ,แพ้ของการแข่งกับเพศเดียวกันของคนที่ i

และ $d_i,e_i,f_i$ เป็นจำนวนครั้งที่ชนะ,เสมอ,แพ้ของการแข่งกับคนต่างเพศกันของคนที่ i

และให้คนที่ 1 ถึง 2n เป็นเพศชาย และคนที่ 2n+1 ถึง 4n เป็นเพศหญิง

สังเกตว่า ถ้าผลการแข่งขันออกมาไม่เสมอจะต้องมีทั้งผู้แพ้และชนะ

ดังนั้น $\sum_{i = 1}^{4n} a_i = \sum_{i=1}^{4n} c_i$

และ $\sum_{i=1}^{2n}d_i=\sum_{i=2n+1}^{4n}f_i$

และ $\sum_{i=1}^{2n}f_i=\sum_{i=2n+1}^{4n}d_i$

และสังเกตว่า ในการแข่งขันกับต่างเพศที่เกิดผลเสมอ จะเกิดการบันทึกผลการเสมอทั้งสองเพศ ดังนั้น $\sum_{i=1}^{2n}e_i=\sum_{i=2n+1}^{4n}e_i$

พิจารณาการแข่งขันทั้งหมดเกิดขึ้น $\binom{4n}{2}$ ครั้ง

ดังนั้น $\sum_{i = 1}^{4n} (a_i+b_i+c_i+d_i+e_i+f_i)=8n^2-2n$

ได้ $\sum_{i = 1}^{4n} (2a_i+b_i+2d_i+e_i)=8n^2-2n$ ----(1)

พิจารณาการแข่งขันของนักเรียนชายใดๆจะต้องมีแต้มรวมทั้งหมดเป็น 4n-1

ดังนั้น $(3)a_i+(1)b_i+(2)(d_i)=4n-1 ทุก i=1,2,...,2n$

ได้ผลรวมคะแนนของนักเรียนชายทุกคนคือ

$ \sum_{i=1}^{2n}3a_i+b_i+2d_i=(4n-1)(2n)=8n^2-2n$ --------(2)

พิจารณาการแข่งขันของนักเรียนหญิงใดๆจะต้องมีแต้มรวมทั้งหมดเป็น 4n-1

ดังนั้น $(3)a_i+(1)b_i+(3)d_i+(2)e_i=4n-1$ ทุก $i=2n+1,2n+2,...,4n$

ได้ผลรวมคะแนนของนักเรียนหญิงทุกคนคือ

$\sum_{i=2n+1}^{4n}3a_i+b_i+3d_i+2e_i=(4n-1)(2n)=8n^2-2n$-----(3)

$นำ (2)+(3) ได้ \sum_{i=1}^{4n}3a_i+b_i+3d_i+e_i-\sum_{i=1}^{2n}d_i=16n^2-4n$

ทำไปทำมาเหมือนจะผิด เหมือนผมลืมหาอะไร ขอเวลานะครับ =-=

edit เพิ่มผมหาไม่เจออะว่าผมลืมอะไร ใครที่ทำได้แล้วรบกวนดูให้ผมทีสิครับ -0-