อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tonklaZolo
3. จงหาจำนวนของจำนวนเต็มบวก $n \leqslant 1000$ ที่ทำให้ $ (\sin t+i\cos t)^n =\sin nt+i\cos nt $ เป็นจริง สำหรับ $\forall t\in \mathbb{R} $
|
$ \sin t+i\cos t =\cos (\frac{\pi}{2}-t)+i\sin (\frac{\pi}{2}-t)$
จะได้
$\begin{array}{cl} & (\sin t+i\cos t)^n \\ = & (\cos (\frac{\pi}{2}-t)+i\sin (\frac{\pi}{2}-t))^n \\ = & \cos (\frac{n\pi}{2}-nt)+i\sin (\frac{n\pi}{2}-nt)\\ = & \sin (\frac{(1-n)\pi}{2}+nt)+i\cos (\frac{(1-n)\pi}{2}+nt) \end{array} $
$\therefore \sin(\frac{(1-n)\pi}{2}+nt)=\sin nt$ และ $\cos(\frac{(1-n)\pi}{2}+nt)=\cos nt$
แต่ $\sin , \cos$ มีคาบ $2\pi$
$\therefore \frac{(1-n)\pi}{2} = 2k\pi$ สำหรับบาง $k\in\mathbb{Z}$
จะได้ $n\equiv 1 (mod 4)$ และได้ว่ามีจำนวนเต็มบวก $n \leqslant 1000$ ที่ทำให้ $ (\sin t+i\cos t)^n =\sin nt+i\cos nt $ เป็นจริงสำหรับ $\forall t\in \mathbb{R} $ ทั้งหมด $250$ จำนวน