อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133
2. จงหาฟังก์ชัน f:R->R ทั้งหมดซึ่งเซต {f(x)/x | xเป็นจำนวนจริงและไม่เท่ากับ0} เป็นเซตจำกัดและสอดคล้องกับ
$$f(x-1-f(x))=f(x)-x-1$$ ทุกจำนวนจริง x
|
ให้ $A = \left\{ x-1-f(x) \ | \ x \in \mathbb{R} \right\}$
$\dfrac{f(x-1-f(x))}{x-1-f(x)} = \dfrac{f(x)-x-1}{x-1-f(x)} = -1-\dfrac{2}{x-1-f(x)}$
จะเห็นว่า ถ้า $A$ เป็นเซตอนันต์แล้ว $\left\{ \dfrac{f(x)}{x} \ | \ x \in \mathbb{R} - \left\{ 0 \right\} \right\}$ จะเป็นเซตอนันต์ด้วย ดังนั้น $A$ เป็นเซตจำกัด
ให้ $m$ เป็นสมาชิกที่มากที่สุดของ $A$
ถ้า $m>-1$
จาก $f(x-1-f(x))=f(x)-x-1$
$f(m) = -m-2$
$m-1-f(m) = 2m+1$
ดังนั้น $2m+1 \in A$
แต่ $2m+1 > m-1+1 = m$
ซึ่งขัดแย้ง
$\therefore m \le -1$
ในทำนองเดียวกันสามารถพิสูจน์ได้ว่าสมาชิกที่น้อยที่สุดของ $A$ ต้องมีค่าไม่น้อยกว่า $-1$
$\therefore A = \left\{ -1 \right\}$
$f(x)-x-1=-1$
$f(x)=x$
ซึ่งแทนค่าแล้วสอดคล้องกับสมการข้างต้น