ผมนั่งมั่วไปๆมาๆถึงตี 4
ออกมาเเบบนี้อะครับ ลืมอะไรไปหลายอย่าง
สลับ $x,y$ จะได้ $f(y+2f(x)) = f(x) + f(y)+x$ $..... (1)$
เเทน $y$ ด้วย $x+2f(y)$ ในสมการโจทย์ เเละใช้สมการของโจทย์ไปเรื่อยๆ จะได้
$f(x+2f(x+2f(y))) = f(x) + f(x+2f(y))+x+2f(y)$
$f(x+2f(x)+2f(y)+2y) = f(x)+f(x)+f(y)+y+x+2f(y)$
$f(x+2f(x)+2y)+f(y)+y = 2f(x)+3f(y)+x+y$
จาก $(1)$ จะได้ $f(x)+f(x+2y)+x+f(y)+y=2f(x)+3f(y)+x+y$
$f(x+2y)=f(x)+2f(y)$
คือได้ถึงตรงนี้เเล้วผมเดาว่ามันน่าจะสอดคล้องสมการโคชีอะครับ เเต่ผมทำเเบบนี้ต่อ
หาอนุพันธ์เทียบ $x$ ทั้งสองข้าง จะได้
$f'(x+2y)=f'(x)$
นั่นคือสำหรับเเต่ละจำนวนจริง $y$ จะพบว่า $f'(x)$ เป็นค่าคงที่
ดังนั้น $f'(x) = a$ สำหรับทุก $x$ ที่เป็นจำนวนจริง
$f(x) = ax+b$ เเทนค่ากลับไปจะได้ $f(x) = -\frac{1}{2}x$ หรือ $f(x) = x$
เเทนค่ากลับพบว่าเป็นจริง