[nooonuii]

$n!=1\times 2\times 3\times\cdots\times n$ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก

ดังนั้น นิยามแบบ recurrence แบบนี้ $n!=n(n-1)!$ จะต้องนิยามเมื่อ $n\geq 2$ เท่านั้น

ไม่เช่นนั้นแล้ว $(n-1)!$ จะไม่นิยาม การอ้างว่า $1!=1(0)!$ จึงไม่สามารถทำได้ครับ

การอ้างสมการ $n!=(n+1)!$ ก็เช่นกันจะมีข้อบังคับว่า $n\geq 1$ เท่านั้น

สำหรับการนิยามว่า $0!=1$ นั้น

ผมเดาว่ามีที่มาจากการที่สมบัตินี้ไปสอดคล้องกับกฎการนับหลายอย่างซึ่งทำให้นำมาใช้งานได้โดยไม่มีอุปสรรคอะไร

จึงมีการกำหนดให้ $0!=1$ โดยไม่ต้องพิสูจน์

ส่วน gamma function เป็น generalization แบบหนึ่งของ factorial function เท่านั้น

บังเอิญมีสมบัติบางประการไปตรงกับ factorial function น่ะครับ สมบัติที่ว่าคือ

$\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$ ซึ่งจะทำให้เราได้สูตร $\Gamma(n)=(n-1)!$