#3 ฟังก์ชันต่อเนื่องก็จริง แต่ไม่จำเป็นต้องหาอนุพันธ์ได้นะ
(เช่น $f(x)=|x|$)
____________________________________________________
อีกวิธีหนึ่ง
แทน $x=y-2f(y)$ ได้สมการ $f(y)=f(y-2f(y))+f(y)+y$
จัดรูปได้ $f(y-2f(y))=-y$
หรือก็คือ $f(-y-2f(-y))=y$
แปลว่า $f$ onto $\mathbb{R}$
แสดงได้ไม่ยากว่า $f(k)=0$ มีคำตอบเดียวคือ $k=0$
จากสมการเดิม แทน $y$ ด้วย $-\dfrac{y}{2}-2f\Big(-\dfrac{y}{2}\Big)$
เพื่อให้ $f\Big[-\dfrac{y}{2}-2f\Big(-\dfrac{y}{2}\Big)\Big]=\dfrac{y}{2}$
ได้ว่า $f(x+y)=f(x)+\dfrac{y}{2}-\dfrac{y}{2}-2f\Big(-\dfrac{y}{2}\Big)$
หรือก็คือ $f(x+y)=f(x)-2f\Big(-\dfrac{y}{2}\Big)$ ---------------------------(*)
แทน $x=0$ ได้ $f(y)=-2f\Big(-\dfrac{y}{2}\Big)$
เอาสมการนี้แทนลงใน (*) ได้ว่า $f(x+y)=f(x)+f(y)$
และใช้ผลของความต่อเนื่องของฟังก์ชันเพื่อแสดงว่าสอดคล้องสมการโคชี
ที่เหลือก็แก้ได้ง่ายแล้วครับ
