ข้อ 1. idea เดียวกัน
http://people.math.gatech.edu/~apasc...2_Chapter4.pdf (ผมว่าข้อนี้เขาเปลี่ยนโจทย์จาก $mn+1$ ไปเป็น $mn-1$ เพื่อวัดว่าเราใช้ idea ตรงนี้เป็นจริงๆหรือเปล่า ลองดูครับ)
ข้อ 3. ถ้าใช้ combi ไม่ได้ ใช้ induction ได้หรือเปล่า?
ข้อ 4. สมมติให้ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะที่ $f(x) \equiv 0 \pmod{p}$ เป็นสมการที่มี $j$ คำตอบ และ $g(x) \equiv 0 \pmod{p}$ ไม่มีคำตอบ
ให้ $a_{1},a_{2},...,a_{j}$ เป็นคำตอบของ $f(x) \equiv 0 \pmod{p}$ โดยที่ $a_{i} \not \equiv a_{k} \pmod{p}$ ทุก $1 \leq i,k \leq j$
จะได้ว่า $p \mid f(a_{i})$ ทุก $i$ ดังนั้น $p \mid f(a_{i})g(a_{i})$ ทุกค่า $i$ ด้วย
ดังนั้น $f(a_{i})g(a_{i}) \equiv 0 \pmod{p}$ แสดงว่า $a_{i}$ เป็นคำตอบของสมการ $f(x)g(x) \equiv 0 \pmod{p}$ (ที่การันตีได้ว่ามีอย่างน้อย $j$ คำตอบละ)
สมมติมีจำนวนเต็ม $b$ ที่ $b \not \equiv a_{i} \pmod{p}$ ทุกค่า $i$ ที่ทำให้ $f(b)g(b) \equiv 0 \pmod{p}$ จะได้ว่า $p \mid f(b)g(b)$ ลงตัว
ก็จะได้ว่า $p \mid f(b)$ หรือ $p \mid g(b)$
จาก $g(x) \equiv 0 \pmod{p}$ ไม่มีคำตอบ แสดงว่า $p \nmid g(b)$
ดังนั้น $p \mid f(b)$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้ เพราะ $b$ ไม่เป็นคำตอบของ $f(x)$