[Sirius]

คุณ TacH ถูกแล้วครับ

วิธีทำของผม
แทน $x=0$ ได้ว่า $F(0)=0$
แทน $x=1$ ได้ว่า $F(1)=0$
แทน $x=2$ ได้ว่า $F(2)=0$
สมมติ $F(x)$ มีรากอื่น ให้เป็น $y$
กรณี $y=3$ แทน $x=4$ จะได้ $F(3)=7\not=0$
ถ้า $y>3$ จะได้ว่าแทน $x$ เป็น $y+1$ จะได้ $F(y+1)=0$ ด้วย
ทำให้ $F(y+n)=0$ ทุก $n\in \mathbb{N}$ ขัดแย้งกับพหุนามมีรากจำกัด
ถ้า $y<0$ จะได้ว่าแทน $x$ เป็น $y$ จะได้ $F(y-1)=0$ ด้วย
ทำให้ $F(y-n)=0$ ทุก $n\in \mathbb{N}$ ขัดแย้งกับพหุนามมีรากจำกัด
จึงได้ $F(x)$ มีรากคือ $0,1,2$ เท่านั้น
$\therefore F(x)=cx(x-1)(x-2)$
แทน $x=4$ ไดว่า $c(4)(3)(2)=28$ ได้ $c=\frac{7}{6}$
จึงได้ $F(x)=\frac{7}{6}(x(x-1)(x-2))=\frac{7}{6}(x^3-3x^2+2x)$