[armpakorn]

ได้ไอเดียจากคุณ polsk133

ให้ $z = cos(arctan2) + isin(arctan2)$
จะได้ $z = \frac{1 + 2i}{\sqrt{5}}$
และ $z^{2558} = \frac{(1 + 2i)^{2558}}{5^{1279}} = cos(2558 arctan2) + isin(2558 arctan2)$
กระจายด้วยทฤษฎีบททวินาม
$(1+2i)^{2558}= \sum_{k = 0}^{2558} \binom{2558}{k} 1^{2558-k}(2i)^k$
$ = \binom{2558}{0}(2i)^0 + \binom{2558}{1}(2i)^1 + \binom{2558}{2}(2i)^2 + \binom{2558}{3}(2i)^3 + \binom{2558}{4}(2i)^4 + ... + (2i)^{2558}$
$ = 1 + \binom{2558}{1}2i - \binom{2558}{2}2^2 - \binom{2558}{3}2^3i + \binom{2558}{4}2^4 + ... - 2^{2558}$

จะได้

$z^{2558} = \frac{1 + \binom{2558}{1}2i - \binom{2558}{2}2^2 - \binom{2558}{3}2^3i + \binom{2558}{4}2^4 + ... - 2^{2558}}{5^{1279}}$

แต่ว่า cos(2558arctan2) คือส่วนจริงของ $z^{2558}$ ดังนั้น

$cos(2558arctan2) = \frac{1 - \binom{2558}{2}2^2 + \binom{2558}{4}2^4 - \binom{2558}{6}2^6 + ... - 2^{2558}}{5^{1279}}$