[PP_nine]

เอาตัวอย่างหนึ่งมาให้ดูครับ


จงหาฟังก์ชันต่อเนื่อง $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ซึ่งสอดคล้องสมการ $f(x^2-y)=f(x^2)-f(y)$


ขั้นแรก แทน $x=y=0$ ได้ $f(0)=0$ ออกมา

แทน $x=0$ ลงในสมการแรก ได้ว่า $f(-y)=-f(y)$

หรือก็คือ $f$ เป็นฟังก์ชันคี่

แทน $y$ ด้วย $-y$ ลงในสมการต้น ได้ว่า $f(x^2+y)=f(x^2)+f(y)$

หรือก็คือ สำหรับ $a=x^2 \geq 0$ ได้ว่า $f(a+y)=f(a)+f(y)$

ซึ่งมีเงื่อนไขฟังก์ชันต่อเนื่อง ทำให้สอดคล้องสมการโคชี

แต่สมการนี้เป็นจริงเฉพาะ $a \geq 0$ จึงต้องแสดงในส่วนที่ติดลบด้วย


กลับมาที่สมการ $f(x^2-y)=f(x^2)-f(y)$

$-f(x^2-y)=-f(x^2)+f(y)$

แต่ $f$ เป็นฟังก์ชันคี่ ดังนั้น $f(-x^2+y)=f(-x^2)+f(y)$

แสดงว่าสำหรับ $b=-x^2 \leq 0$ ได้ว่า $f(b+y)=f(b)+f(y)$

สรุปก็คือ $f(t+y)=f(t)+f(y)$ ทุกจำนวนจริง $t,y$

และใช้ผลของความต่อเนื่องของฟังก์ชันกับสมการโคชี

ก็จะได้คำตอบเป็น $f(x)=cx$ ออกมา


ในตัวอย่างนี้ ฟังก์ชันคู่/คี่ สามารถช่วยในการแก้ปัญหาได้แบบแบ่งครึ่ง

คือทำส่วนที่เป็นบวกก่อน และทำส่วนที่เป็นลบ ค่อยสรุปได้ว่าเป็นจริงทุกจำนวนจริง