กว่าจะเข้ารหัสได้ สุ่มนานเลยย 555 มาต่อให้ครับเห็นเงียบๆ
ส่วนใหญ่เรียงจากง่ายไปยากนะครับ(ยกเว้น NT)
--------------------------------------------------------------
Geometry
1. ABCD เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน (AB<BC) ให้ M,N เป็นจุดบนด้าน AB,BC ตามลำดับซึ่ง AM=CN และ AN ตัด CM ที่ Q และต่อเส้นตรง AB ออกไปทาง B จนถึงจุด L ให้มีความยาวเท่ากับ BC จงแสดงว่า D,Q,L อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน
2.(polar) ลากจุด A มาสัมผัสวงกลมๆหนึ่งที่จุด ที่จุด B,C ต่อไปถึงจุด Q แล้วลากเส้นสัมผัสทั้งสองเส้น ที่จุด X,Y จงแสดงว่า A,X,Y อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน
3.ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมซึ่ง P,Q เป็นจุดใดๆ บน AB,AC ตามลำดับ ถ้า PQ ตัดวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม ABC ที่ X,Y จงแสดงว่า จุดกึ่งกลางของ PQ,XY,CP,BQ เป็น concyclic
Number
1.ถ้า p,q,r เป็นจำนวนเฉพาะซึ่ง p>r,q>r จงแสดงว่าไม่มีจำนวนเฉพาะ p,q,r ที่ $pq|r^p+r^q$
2.จงหาจำนวนนับ n ที่ $2^n|3^n-1$
3.กำหนดให้จำนวนเฉพาะ p ใดจะมี n ซึ่ง $p^n$ มี 0 ติดกัน 2553 ตัว
Algebra
1.ถ้า a,b,c,d>0 และ $\dfrac{1}{a^4+1}+\dfrac{1}{b^4+1}+\dfrac{1}{c^4+1}+\dfrac{1}{d^4+1}=1$ จงแสดงว่า $abcd \geq 3$
2.จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbf{R}\rightarrow \mathbf{R}$ ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไข
i.) มี $s \in \mathbf{R}$ เพียงจำนวนจำกัดที่ทำให้ $f(s)=0$
ii.) $f(x^4+y)=x^3f(x)+f(f(y))$
3.(แบบฝึกศูนย์ผมเอง
) ให้ $x_1,x_2,...x_n$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบจงหาค่า C ที่น้อยที่สุดที่ทำให้
$$\sum_{1 \leq i <j leq n} x_ix_j(x_i^2+x_j^2) \leq C(\sum_{i=1}^n x_i)^4$$