[จูกัดเหลียง]

ผมว่าที่ถูกควรเป็น $$\sum_{cyc}\frac{1}{\sqrt[3]{1-a^3}}\ge \frac{3}{\sqrt[3]{1-abc}}$$
Let $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt[3]{1-x^3}}$ so $f$ is convex on $(0,1)$

Proof

$f''(x)=x^2(4x^2(1-x^3)^{-7/3})+2x(1-x^3)^{-4/3}>0$

and $\dfrac{1}{\sqrt[3]{1-abc}}\le \dfrac{1}{\sqrt[3]{1-\Big(\dfrac{a+b+c}{3}}\Big)^3}$ which complete by Jensen's