อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-
105. กำหนดให้ $A \in \mathbf{R}$ และ $x^4-2x^3+x^2+Ax+20 = 0$ เป็นสมการพหุนามที่มีรากเป็นจำนวนเต็มบวกซ้ำกันสองราก และรากอีกสองราก ไม่เป็นจำนวนจริง จงหาค่า $A$ ที่เป็นไปได้
|
ขอแก้ $a$ ในโจทย์ เป็น $A$ นะครับ
สมมุติให้รากทั้งสี่ของสมการ $x^4-2x^3+x^2+Ax+20 = 0$ คือ $a,a,b+ci,b-ci$
จากทฤษฎีผลบวกผลคูณของราก พิจารณา สัมประสิทธิ์ของ $x^2$ จะได้ว่า $a^2+4ab+b^2+c^2 = 1$
พิจารณา สัมประสิทธิ์หน้า $x^0$ และ $x^3$ จะได้ว่า $a^2(b^2+c^2) = 20$ และ $a+b = 1$ ตามลำดับ
จากนั้นก็แก้สมการ ... จะได้ว่า $a^2+4a(1-a)+\frac{20}{a^2}= 1$
$3a^4-4a^3-20+a^2 = 0$ เห็นได้ชัดเจนว่า $a=2$ เป็นราก
จะได้ $3a^4-4a^3+a^2-20= (a-2)(3a^3+2a^2+5a+10)=0$
เนื่องจากโจทย์กำหนดว่า $a$ เป็นจำนวนเต็มบวก จะได้ $3a^3+2a^2+5a+10 > 0$ เพราะฉะนั้นรากที่สอดคล้องจึงมีเพียง $a=2$ เท่านั้น ทำให้ $b=-1$ และ $c=\pm 2$
เพราะฉะนั้นรากคือ $2,2,-1+2i,-1-2i$
ค่า $A$ ที่เป็นไปได้คือ $-12$