อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-
101. ถ้า $a,b,k \in \mathbf{I}^+$ และเราสามารถเขียนจำนวน $a^a\times b^b$ ได้ในรูปของ $k\times 10^{98}$ จงหาคู่อันดับที่เป็นไปได้ $(a,b)$ ที่ $a\times b$ มีค่าน้อยที่สุด
|
สังเกตว่า $a^a\times b^b\mid 1^1\times(ab)^{ab}$
จึงได้ว่าถ้าสามารถเขียนจำนวน $a^a\times b^b$ ได้ในรูปของ $k\times 10^{98}$ แล้วจะสามารถเขียน
$(ab)^{ab}$ ในรูปของ $m\times 10^{98}$ สำหรับบางจำนวนเต็ม m
จึงสามารถพิจารณาเพียงคู่อันดับในรูป (1,n) เท่านั้น
ถ้า n<98 จะได้ว่ากำลังสูงสุดของ 10 ที่ไปหาร n คือ 1 ทำให้กำลังสูงสุดของ 10 ที่ไปหาร $n^n$ มีค่า $\le n$ ดังนั้น $10^98\nmid n^n$
ถ้า n=98,99 เห็นได้ชัดว่า $10^{98}\nmid n^n$
จาก $10^{98}\mid 100^{100}$ จึงได้ว่า 100 เป็นค่า n ที่ต่ำที่สุด
จาก $10^{98}\nmid a^a\times b^b$ เมื่อ a>1,ab=100
จึงได้ว่า (1,100),(100,1) เป็นคู่อันดับที่เป็นคำตอบทังหมด