106. จงหาค่าของ
$$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{(3n-2)(3n+2)}$$
เมื่อกระจายผลบวกออกมาจะกลายเป็น
$\displaystyle{\frac{1}{4}(\frac{1}{1}-\frac{1}{5}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+...)}$
ซึ่งมีค่าเท่ากับการอินทิเกรต
$\displaystyle{\int_{0}^{1} (1-x^4+x^3-x^7+...) \, dx}$
จัดรูปนิดหน่อยก็จะได้แบบลิงค์ข้างล่าง
http://www.mathcenter.net/forum/show...&postcount=140
หลังจากนั้นก็ทำการอินทิเกรต จะได้ผลลัพธ์คือ
$\displaystyle{\frac{1}{72}(9+2\sqrt{3}\pi)}$
107. จงหาค่า $a$ ที่ทำให้ สมการนี้มีคำตอบ และแก้สมการ
$$\sin^2{x} - \sin{x}\cos{x}-2\cos^2{x} = a$$
108.จงหาจำนวนผลเฉลย ที่เป็นจำนวนเต็มบวกของสมการ
$$(x_1+x_2+x_3)^2(y_1+y_2) = 2548$$
109. จงหาค่าของ
$$\sum_{k = 1}^{1273} (\frac{1}{1+\tan^{2548}{(\frac{k\pi}{2548})}})$$
110. จงแก้สมการ
$$\frac{2^x+2^{-x}}{3^x+3^{-x}} = \frac{4^x+4^{-x}}{9^x+9^{-x}}$$
111. จงหาค่าของ
$$\int_{2}^{8} \frac{(x+9)^{14}}{(x+9)^{14}+(x-19)^{14}} \, dx$$
ให้ $u = x-5$ จะได้ว่า
$$\int_{2}^{8} \frac{(x+9)^{14}}{(x+9)^{14}+(x-19)^{14}} \, dx = \int_{-3}^{3} \frac{(u+14)^{14}}{(x+14)^{14}+(u-14)^{14}} \, du = I$$
ให้ $v = -u$ จะได้ว่า
$$\int_{-3}^{3} \frac{(u+14)^{14}}{(x+14)^{14}+(u-14)^{14}} \, du = -\int_{3}^{-3} \frac{(-v+14)^{14}}{(-v+14)^{14}+(-v-14)^{14}} \, dv$$
$$= \int_{-3}^{3} \frac{(-v+14)^{14}}{(-v+14)^{14}+(-v-14)^{14}} \, dv$$
$$= \int_{-3}^{3} \frac{(v-14)^{14}}{(v-14)^{14}+(v+14)^{14}} \, dv$$
$$2I = \int_{-3}^{3}\frac{(u+14)^{14}+(u-14)^{14}}{(x+14)^{14}+(u-14)^{14}} \, du = \int_{-3}^{3} du = 6$$
$$I = 3$$
112. กำหนดสามเหลี่ยม $ABC$ ที่มีคุณสมบัติ $6\sin{A} = 4\sin{B} = 3\sin{C}$ จงหา $\cos{C}$
113. จงแก้ระบบสมการ
$$x-4x^2y+y-4xy^2 = \frac{1}{4}$$
$$x^2+y^2 = 1$$
จากสมการที่สอง กำหนดให้ $x = \cos{\theta}$ และ $y = \sin{\theta}$ นำกลับไปแทนค่าในสมการแรก
จัดรูปไปมาจะได้
$\cos{3\theta}-\sin{3\theta} = \frac{1}{4}$
$\theta = \frac{1}{3}(2\pi n_1-\frac{\pi}{4}+\cos^{-1}{(\frac{1}{4\sqrt{2}})}), \frac{1}{3}(2\pi n_1-\frac{\pi}{4}-\cos^{-1}{(\frac{1}{4\sqrt{2}})})$
นำ $\theta$ กลับเข้าไปแทนใน $x,y$ ก็จะได้คำตอบครับ
$x \approx 0.979554266, y\approx 0.201180116$
$x \approx 0.74772882, y\approx -0.664004225$
114. กำหนดให้ $a_1 = 1$ และ $a_n = a_{n-1}+\frac{1}{a_{n-1}}$ เมื่อ $n \geq 2$ จงพิสูจน์ว่า $71 < a_{2549} < 88$
115. จงแก้สมการ
$$343x(x+1)(x+2) = 120$$