อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-
114. กำหนดให้ $a_1 = 1$ และ $a_n = a_{n-1}+\frac{1}{a_{n-1}}$ เมื่อ $n \geq 2$ จงพิสูจน์ว่า $71 < a_{2549} < 88$
|
เห็นได้ว่า $a_n > 1$ สำหรับจำนวนเต็ม $n\geqslant 2$
จาก $a_n = a_{n-1}+\frac{1}{a_{n-1}}$ ยกกำลังสองจะได้ $a_n^2 = a_{n-1}^2+\frac{1}{a_{n-1}}^2 + 2$
จะได้ $a_{n-1}^2+2 < a_n^2 < a_{n-1}^2+3$
ดังนั้น
$\displaystyle a_1^2 + 2 < a_2^2 < a_1^2 + 3$
$\displaystyle a_2^2 + 2 < a_3^2 < a_2^2 + 3$
$\displaystyle a_3^2 + 2 < a_4^2 < a_3^2 + 3$
ไปเรื่อยๆ จนถึง
$\displaystyle a_{2548}^2 + 2 < a_{2549}^2 < a_1^2 + 3$
รวมทุกอสมการเข้าด้วยกันจะได้
$a_1^2 + 2(2548) < a_{2549}^2 < a_1^2 + 3(2548)$
$5069 < a_{2549}^2 < 7645$
$71.39 < a_{2549} < 87.43$
ดังนั้น $71 < a_{2549} < 88$