อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-
116. กำหนดให้ $j = \sqrt{-1}$ จงหาพจน์ทั่วไปของ
$$\prod_{k = 0}^{n} (1+(\frac{1+j}{2})^{2^k})$$
|
ให้ $S=\prod_{k = 0}^{n} (1+(\frac{1+j}{2})^{2^k})$และ $a=\frac{1+j}{2}$ จะได้ว่า
$$\begin{array}{rcl} \prod_{k = 0}^{n} (1+(\frac{1+j}{2})^{2^k}) & = & \prod_{k = 0}^{n} (1+a^{2^k})\\ & = & \frac{1-a}{1-a}\cdot (1+a)(1+a^2)(1+a^4)...(1+a^{2^n}) \\ &= & \frac{1-a^{2^{n+1}}}{1-a}\end{array} $$
พิจารณา $1-a^{2^{n+1}}$ เมื่อ $n>0$ จะได้ว่า
$$\begin{array}{rcl} 1-a^{2^{n+1}} & = & 1-\left(\, \frac{1}{\sqrt{2}}cis \frac{\pi}{4}\right) ^{2^{n+1}}\\ & = & 1-\left(\,\frac{1}{2}\right)^{2^{n}}cis(2^{n-1}\pi)\\ &=& 1-\frac{1}{2^{2^n}} \end{array} $$
แสดงว่า $$S=\prod_{k = 0}^{n} (1+(\frac{1+j}{2})^{2^k}) =\frac{2^{2^n}-1}{2^{2^{n}+1}}(1+j)$$
ผิดตรงไหนขออภัยด้วยครับ