อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Beatmania
3.มีจำนวนนับ $n$ หรือไม่ที่
$1.)$ $n|2^n+1$
$2.)$ $n$ มีจำนวนตัวประกอบเฉพาะ ทั้งหมด 25 ตัวพอดี
|
proof that there exist $p_1,p_2,...,p_{k-1}$ such that $3p_1p_2 \cdots p_{k-1} \ | \ 2^{3^k}+1$
โดยอุปนัยจะพิสูจน์ข้อความดังกล่าว
ขั้นฐานเห็นได้ชัดว่าจริง
ขั้นอุปนัย สมมติว่ามี $p_1,p_2,...,p_{k-1}$ such that $3p_1p_2 \cdots p_{k-1} \ | \ 2^{3^k}+1$
พิจารณา $\gcd(2^{3^k}+1,2^{2\cdot3^k}-2^{3^k}+1)=3$ , $9 \ | \ 2^{3^k}+1$ และ $2^{2\cdot3^k}-2^{3^k}+1 > 3$
จะมี $p \not\in \left\{ 3,p_1,p_2,...,p_{k-1} \right\}$ such $p \ | \ 2^{2\cdot3^k}-2^{3^k}+1$
$\therefore 3p_1p_2 \cdots p_{k-1}p \ | \ 2^{3^{k+1}}+1$ which complete the inductive step
เลือก $n = 3^kp_1p_2\cdots p_{24}$ ครบตามที่กำหนดครับ