อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-
121. กำหนดสามเหลี่ยม ABC จงพิสูจน์ว่า ถ้า
$$\frac{\sin^2{A} + \sin^2{B}+\sin^2{C}}{\cos^2{A}+\cos^2{B}+\cos^2{C}} = 2$$
|
จากที่ $\sin^2{A} + \sin^2{B}+\sin^2{C} + \cos^2{A}+\cos^2{B}+\cos^2{C} = 3$ ทำให้ได้ว่า $\cos^2{A}+\cos^2{B}+\cos^2{C} = 1$
คูณ 2 เข้าไปจะได้
$$2cos^2{A}+2cos^2{B}+2cos^2{C} = 2$$
$$cos2A + cos2B + 2cos^2(A+B) = 0$$
$$2cos(A+B)cos(A-B) + 2cos^2 (A+B) = 0$$
$$cos(A+B)=0 หรือ cos(A-B) + cos(A+B) = 0$$
$$cosC = 0 หรือ 2cosAcosB = 0$$
$$cosC = 0 หรือ cosA = 0 หรือ cosB = 0$$
จะกรณีไหนๆก็ได้ว่ามุมสักมุมเป็นมุมฉาก นั่นคือสามเหลี่ยมนี้เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก