[PP_nine]

มาแจกโจทย์ number+algebra ซักข้อครับ อาจจะโหดไปหน่อยสำหรับมือใหม่ เพราะต้องทำยาว


กำหนดลำดับ $u_n$ ซึ่งมีความสัมพันธ์เวียนเกิด $u_{n+1}=pu_{n}+u_{n-1}$ เมื่อ $n \ge 1$

โดยที่ $p \in \mathbb{Z}-\{ 0 \}$ และ $u_0=0,\ u_1=1$

จงพิสูจน์ว่า ถ้า $u_n^2 | u_{kn}$ สำหรับบางจำนวนเต็มบวก $k$ แล้ว $u_n | k$


(จริงๆข้อนี้เป็นส่วนขยายของ Matijasevich's Lemma เกี่ยวกับจำนวนฟิโบนัชชี น่าสนใจดีเลยเอามา)

Hint

พิสูจน์ให้ได้ว่า $u_{m+n}=u_{m-1}u_n+u_mu_{n+1}$

Hint2

พิจารณา $u_{2n},\ u_{2n+1},\ u_{3n},\ u_{3n+1},... $ ใน mod ...