อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Hero13
เพิ่มเติมนะครับ
$P(n+1)=(-1)^{n+1}+3P(n)$ โดย $P(1)=P(100)$ จงหาค่าของ $P(1)+P(2)+...P(99)$
|
$P_2=1+3P_1$
$P_3=-1+3+3^2P_1$
$P_4=1-3+3^2+3^3P_1$
$P_5=-1+3-3^2+3^3+3^4P_1$
.
.
.
$P_{99}=-1+3-3^2+3^3-...+3^{97}+3^{98}P_1$
$P_{100}=1-3+3^2-3^3+3^4-...+3^{98}+3^{99}P_1$
โจทย์ให้หา $\sum_{n = 1}^{99}P_{(n)}$
$\sum_{n = 1}^{99}P_{(n)}=\sum_{n = 1}^{100}P_{(n)}-P_{100}$
$\sum_{n = 1}^{100}P_{(n)}=1+3^2+3^4+...+3^{98}+P_1+3P_1+3^2P_1+...3^{99}P_1$
$\sum_{n = 1}^{99}P_{(n)}=3+3^3+3^5+...+3^{9+7}+P_1+3P_1+3^2P_1+...+3^{98}P_1$
$P_1=P_{100}=\sum_{n = 1}^{100}P_{(n)}-\sum_{n = 1}^{99}P_{(n)}$
$\quad\quad\quad P_1=3^{99}P_1+2(3^{97}+3^{95}+...+3^3+3)+1$
$\Longrightarrow (3^{99}-1)P_1=-[1+2(3^{97}+3^{95}+...+3^3+3)]$
$\Longrightarrow P_1=\frac{-[1+2(3^{97}+3^{95}+...+3^3+3)]}{(3^{99}-1)}$
ดังนั้น $\sum_{n = 1}^{99}P_{(n)}=(3+3^3+3^5+...+3^{95}+3^{97})-\frac{(1+3+3^2+3^3+...3^{98})(1+2(3^{97}+3^{95}+...+3^3+3)}{2(3^{98}+3^{97}+...+3^2+3+1)}=-\frac{1}{2}$
หรือให้กระชับขึันดังข้างล่าง
$P_2=1+3P_1$
$P_3=-1+3P_2$
$P_4=1+3P_3$
.
.
.
$P_{99}=-1+3P_{98}$
$P_{100}=1+3P_{99}$
$P_1+P_2+...+P_{99}=P_2+...+P_{99}+P_{100}$ เพราะ $P_1=P_{100}$
เนื่องจาก $P_2+...+P_{100}=1+3(P_1+P_2+...+P_{99})$
$\therefore P_1+P_2+...+P_{99}=-\frac{1}{2}$