[เทพเวียนเกิด]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ artty60

$P_2=1+3P_1$

$P_3=-1+3+3^2P_1$

$P_4=1-3+3^2+3^3P_1$

$P_5=-1+3-3^2+3^3+3^4P_1$
.
.
.
$P_{99}=-1+3-3^2+3^3-...+3^{97}+3^{98}P_1$

$P_{100}1-3+3^2-3^3+3^4-...+3^{98}+3^{99}P_1$

โจทย์ให้หา $\sum_{n = 1}^{99}P_{(n)}$

$\sum_{n = 1}^{99}P_{(n)}=\sum_{n = 1}^{100}P_{(n)}-P_{100}$

$\sum_{n = 1}^{100}P_{(n)}=1+3^2+3^4+...+3^{98}+P_1+3P_1+3^2P_1+...3^{99}P_1$

$\sum_{n = 1}^{99}P_{(n)}=3+3^3+3^5+...+3^{9+7}+P_1+3P_1+3^2P_1+...+3^{98}P_1$

$P_1=P_{100}=\sum_{n = 1}^{100}P_{(n)}-\sum_{n = 1}^{99}P_{(n)}$

$\quad\quad\quad P_1=3^{99}P_1+2(3^{97}+3^{95}+...+3^3+3)+1$

$\Longrightarrow (3^{99}-1)P_1=-[1+2(3^{97}+3^{95}+...+3^3+3)]$

$\Longrightarrow P_1=\frac{-[1+2(3^{97}+3^{95}+...+3^3+3)]}{(3^{99}-1)}$

ดังนั้น $\sum_{n = 1}^{99}P_{(n)}=(3+3^3+3^5+...+3^{95}+3^{97})-\frac{(1+3+3^2+3^3+...3^{98})(1+2(3^{97}+3^{95}+...+3^3+3)}{2(3^{98}+3^{97}+...+3^2+3+1)}=-\frac{1}{2}$

ขอบคุณครับ สงสัยผมลืมดูเครื่องหมาย ตกม้าตายอีกรอบ