อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ฟินิกซ์เหินฟ้า
$Problem23.\triangle ABC$ has sides $BC=a,CA=b,AB=c$ with $b=\frac{a+c}{2}.$
Determine the largest possible size of angle $B$ |
มีอีกวิธีครับ
จาก Law of sine จะได้ว่า
$$\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin(A+C)}{\frac{a+c}{2}}=\frac{\sin A+\sin C}{a+c}$$
$$\begin{array}{rcl} 2\sin(A+C) & = & 2\sin(\frac{A+C}{2})\cos(\frac{A-C}{2}) \\ \cos(\frac{A+C}{2}) & = & \frac{1}{2}\cos(\frac{A-C}{2}) \\ \sin \frac{B}{2} &=&\frac{1}{2}\cos(\frac{A-C}{2}) \end{array}$$
แสดงว่า $\sin \frac{B}{2} \leqslant \frac{1}{2}=\sin \frac{\pi}{12}$ แต่ $f(x)=\sin x$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง $(0,\frac{\pi}{2})$
ดังนั้นจะได้ว่า $\frac{B}{2} \leqslant \frac{\pi}{12}$ หรือ $B \leqslant \frac{\pi}{6}$
$\therefore$ ค่าของมุม $B$ ที่มากที่สุดคือ $60^{\circ}$ เกิดขึ้นเมื่อ $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า