11.อุปนัยบน $m$ ว่า ญาญ่าเลือกสับเซตให้ได้ทองมากกว่าได้
$P(1)$ ชัดเจน สมมติ $P(k)$ จริง พิจารณา $B_{1},B_{2},...,B_{n}$ ที่ณเดชน์เลือกซึ่งเป็นสับเซตของ $\{1,2,...,k+1\}$
แยก $B_{i}$ เป็นพวก $C$ กับพวก $D$ โดย $C$ คือพวกที่ไม่มี $k+1$ เป็นสมาชิก พวก $D$ คือพวกที่มี
สมมติพวก $C$ ประกอบไปด้วย $B_{1},B_{2},...,B_{t}$ และพวก $D$ คือ $B_{t+1},...,B_{n}$
ให้ $c=a_{1}+a_{2}+...+a_{t}$ และ $d=a_{t+1}+...+a_{n}$
ให้ $f(X,C)$ แทนทองที่ญาญ่าจะได้รับจากพวก $C$ เมื่อญาญ่าเลือกสับเซต $X$ นิยาม $f(X,D)$ ในทำนองเดียวกัน
ดังนั้น เราต้องแสดงว่ามี $X$ ซึ่งเป็นสับเซตของ $\{1,2,...,k+1\}$ ซึ่ง $f(X,C)+f(X,D)>\frac{c+d}{2}$
เนื่องจากทุกๆ $B_{i}$ ที่เป็นพวก $C$ จะเป็นสับเซตของ $\{1,2,...,k\}$ ดังนั้นโดยสมมติฐานการอุปนัยจะมี $S\subset\{1,2,...,k\} $ ซึ่ง
$f(S,C)>\frac{c}{2}$ หาก $f(S,D)>\frac{d}{2}$ ก็จะได้ $P(k+1)$ เป็นจริงทันที มิเช่นนั้นหาก
$f(S,D)\leqslant \frac{d}{2}$ พิจารณา $S'=S\cup \{k+1\}$ เราทราบว่า $f(S',C)=f(S,C)$ (เพราะพวก $C$ ไม่มี $k+1$ เป็นสมาชิก) และ
$f(S',D)=d-f(S,D)$ (เพราะเมื่อเพิ่มสมาชิก $k+1$ เข้ามา ทำให้ความเป็นคู่คี่ของ $\left|\,\right. S\cap B_{i}\left.\,\right| $ ในพวก $D$ เปลี่ยนไปเป็นตรงกันข้าม)
จึงได้ว่า $f(S',C)+f(S',D)>\frac{c+d}{2}$ เช่นเดียวกัน ดังนั้น $P(k+1)$ เป็นจริง
|