$f:N\rightarrow N$ เเละ $f(n+1)>f(n)$ เเละ $f(f(n))=3n$ จงหา $f(10)$
$$[(n+1>n)\bigwedge (f(n+1)>f(n))]\rightarrow f: เป็นฟังก์ชันเพิ่ม$$
เนื่องจาก $f:N\rightarrow N$
สมมติ $f(1)=1$ แทนลงไปใน $f(f(n))=3n$ จะได้ $f(1)=3$ ซึ่งขัดแย้งกับคุณสมบัติฟังก์ชัน
ดังนั้น $f(1)>1$
$f(2)>f(1)>1$ ดังนั้น $f(2)>2$
จะได้ว่า $f(n)>n$
$$f(n+1)>f(n)$$
$$\leftrightarrow $$
$$f(n+1)\geqslant f(n)+1$$
$$เนื่องจาก : f(n+1)\geqslant f(n)+1$$
$$ดังนั้น : f(f(n+1))\geqslant f(f(n)+1)$$
$$จะได้ : 3(n+1)\geqslant f(f(n)+1)$$
$$3n+3\geqslant f(f(n)+1)$$
$$แทน : n=1$$
$$6\geqslant f(f(1)+1)$$
$$แต่ :f(f(1)+1)>f(f(1))+1>f(f(1))>f(1)$$
$$ดังนั้น$$ $$3\geqslant f(1)$$
เนื่องจาก $f(1)\not= 1$ แทน $f(1)=3$ จะได้ $f(f(1))=f(3)=3$ แต่ $f(n)>n$ ดังนั้น เป็นไปไม่ได้
จึงเหลือเพียง $f(1)=2$
$$f(1)=2;n=1;f(f(1))=f(2)=3$$
$$f(2)=3;n=2;f(f(2))=f(3)=6$$
$$f(3)=6;n=3;f(f(3))=f(6)=9$$
แสดงว่า $8\geqslant f(5)> f(4)\geqslant 7$
จึงได้ว่า $f(4)=7 , f(5)=8$
$$f(4)=7;n=4;f(f(4))=f(7)=12$$
$$f(5)=8;n=5;f(f(5))=f(8)=15$$
$$f(6)=9;n=6;f(f(6))=f(9)=18$$
$$f(7)=12;n=7;f(f(7))=f(12)=21$$
แสดงว่า $20\geqslant f(11)>f(10)\geqslant 19$
จึงได้ว่า $f(10)=19 , f(11)=20$
$$f(8)=15;n=8;f(f(8))=f(15)=24$$
$$f(9)=18;n=9;f(f(9))=f(18)=27$$
แสดงว่า $26\geqslant f(17)>f(16)\geqslant 25$
จึงได้ว่า $f(17)=26 , f(16)=25$
ตอบ $f(10)=19 ,f(17)=26 $
วิธีผมช่างยาวเหลือหลาย ใครมีวิธีสั้นๆแสดงให้ดูหน่อยครับ
|