ประการแรกผมยังไม่เคยเห็นหนังสือไทยหรือต่างประเทศเล่มไหนที่เขียนแยกระหว่างคำว่า วิธี กับ แบบ ว่าต่างกันเลยครับ
ถ้ามีแยก ก็ไม่รู้ว่าจะใช้ศัพท์ภาษาอังกฤษว่าอย่างไร นั่นก็คือความหมายที่ผมเห็นเขาเขียนกันทั่วไป คำว่า จำนวนวิธี กับ จำนวนแบบ มีความหมายอย่างเดียวกันครับ
แต่ผมว่าปัญหาที่ทำให้สับสนในเรื่องนี้ ส่วนหนึ่งน่าจะมาจาก
1. หลักสูตรปัจจุบันประมาณ 10 ปีหลังมานี้ ที่จับเรื่องการนับจำนวนแบบหรือจำนวนวิธี ไปใส่เป็นเรื่องเดียวกันในเรื่องความน่าจะเป็น
2. เนื้อหาที่ใส่ในหลักสูตรบ้านเราระดับมัธยม จับมาใส่หรือให้เรียนเพียง 1/4 ของทั้งหมด
คือบ้านเราจะเรียนเฉพาะสิ่งของที่ต่างกัน ตอนนับก็นับแต่ของต่างกัน ไม่ได้ฝึกนับของที่มันเหมือนกัน
แต่พอเรียนเรื่องความน่าจะเป็น ถ้าเป็นของเหมือนกัน เราจะคิดว่าเสียว่ามันเป็นของที่ต่างกันก่อน แล้วค่อยนับ แต่ถ้าเรานับอย่างเดียวโดยไม่มีความน่าจะเป็นมาเกี่ยวข้อง มันก็ต้องนับแบบของที่เหมือนกันครับ ไม่ใช่ไปคิดว่าเป็นของที่ต่างกัน
ถ้าเราเรียนเรื่องการนับของที่เหมือนกันมาครับ หมดแล้ว ผมคิดว่าความงงทั้งหลายจะหมดไปครับ
------------------------------------
ที่สำคัญเรื่องการนับ การจะเขียนคำถามหรือถาม ไม่ควรเขียนแบบเข้าใจไปเอง ว่าทุกคนต้องเข้าใจเหมือนกัน
อย่างเรื่องการหยิบ โดยทั่วไปถ้าเราพูดว่าหยิบของ จริง ๆ แล้วที่ถูกมันต้องหมายถึง เรากำลังหยิบพร้อม ๆ กัน
นั่นก็คือ ลำดับของการหยิบ ก่อนหลัง ใครมาก่อน มาหลัง เราถือว่าเหมือนกัน ไม่คิดว่ามันต่างกัน
ดังนั้น ถ้าเรามี A กับ B ถ้าบอกว่าหยิบพร้อมกัน 2 ชิ้น จะหยิบได้เพียง 1 แบบหรือ 1 วิธีคือ AB (หรือจะเขียน BA ก็ได้)
-------------
แต่ถ้าเราบอกว่า มี A กับ B แล้วหยิบทีละชิ้น โดยใส่คืนก่อนหยิบลูกถัดไป แบบนี้เราจะถือว่าลำดับก่อนหลังถือว่าต่างกัน
ซึ่งจะมี 4 วิธีคือ AA, AB, BA, BB
โดย AB หมายถึง ครั้งที่ 1 หยิบได้ A และ ครั้งที่ 2 หยิบได้ B
ซึ่งจะต่างกับ BA ที่หมายถึง ครั้งที่ 1 หยิบได้ B และ ครั้งที่ 2 หยิบได้ A
ถ้าเราบอกว่ามี A กับ B แล้วหยิบทีละชิ้น โดยไม่ใส่คืนก่อนหยิบลูกถัดไป แบบนี้จะหยิบได้ 2 วิธีคือ AB กับ BA
---------------
เรื่องลูกเต๋าก็เหมือนกันครับ ที่เขาบอก 21 กับ 12 ต่างกัน เพราะมันมีความหมายของผลลัพธ์ที่ต่างกัน เราจึงถือว่ามันเป็นคนละวิธีกัน
เช่น มีลูกเต๋า 1 ลูก โยนทีละครั้ง โดยโยน 2 ครั้ง จะมีได้ 4 แบบคือ 11, 12, 21, 22
การที่บอกว่า 12 ต่างกับ 21 เพราะ 12 หมายถึง โยนครั้งแรกได้ 1 และ โยนครั้งที่สองได้ 2
ซึ่งเป็นคนละความหมายกับคำว่า 21 ซึ่งหมายถึง โยนครั้งแรกได้ 2 และ โยนครั้งที่สองได้ 1
------------
แต่ถ้าโจทย์เขียนเป็น มีลูกเต๋า 2 ลูก โยนพร้อมกัน 1 ครั้ง จะมีได้ 4 แบบคือ 11, 12, 21, 22
แต่ 12 ในที่นี้ จะหมายถึง ลูกเต๋าลูกที่ 1 (สมมติว่าอยู่ซ้ายมือของเรา) ขึ้นแต้ม 1
และ ลูกเต๋าลูกที่ 2 (สมมติว่าอยู่ขวามือของเรา) ขึ้นแต้ม 2
ซึ่งจะต่างกับ 21 ที่หมายถึง ลูกเต๋าลูกที่ 1 (สมมติว่าอยู่ซ้ายมือของเรา) ขึ้นแต้ม 2
และ ลูกเต๋าลูกที่ 2 (สมมติว่าอยู่ขวามือของเรา) ขึ้นแต้ม 1
-------------------
ลองโจทย์ข้อนี้นะครับ ข้อที่ 2
http://www.mathcenter.net/triam/016n...nal02p01.shtml
มี กกกก, ขขข, ค, ง, จ, ช หยิบมาอย่างน้อย 3 ตัว หยิบได้กี่วิธี
แนวคิด นับจำนวนวิธีหยิบไม่มีเงื่อนไข - จำนวนวิธีหยิบได้อย่างมาก 2 ชิ้น
ขั้นที่ 1. หยิบ ก. เนื่องจาก ก เป็นของที่เหมือนกัน เราจะได้หยิบ 5 วิธีเท่านั้นคือ ไม่หยิบเลย, หยิบ ก, หยิบ กก, หยิบ กกก, หยิบ กกกก
ขั้นที่ 2. ทำนองเดียวกัน ขขข หยิบได้ 4 วิธี
ขั้นที่ 3. ค, ง, จ, ช หยิบได้อย่างละ 2 วิธี
ดังนั้นหยิบไม่มีเงื่อนไข จะหยิบได้ (5)(4)(2)(2)(2)(2) = 320 วิธี
ถ้าหยิบอย่างมาก 2 ชิ้น จะหยิบได้ 24 วิธีคือ
ไม่หยิบเลย, ก, ข, ค, ง, จ, ช, กก, ขข, กข, กค, กง, กจ, กช, ขค, ขง, ขจ, ขช, คง, คจ, คช, งจ, งช, จช
ดังนั้นข้อนี้จะตอบ 320 - 24 = 296 วิธี
แต่ถ้าเปลี่ยนโจทย์เป็นของต่างกันหมด
มี ABCD, EFG, H, I, J, K หยิบมาอย่างน้อย 3 ตัว หยิบได้กี่วิธี
ขั้นที่ 1. หยิบ A ได้ 2 วิธีคือ ไม่หยิบ กับหยิบมา 1 ตัว
ขั้นที่ 2. B, C, ... , K หยิบได้ 2 วิธี เช่นกัน
ดังนั้นหยิบไม่มีเงื่อนไข จะหยิบได้ $2^11 = 2048$ วิธี หรือใช้ $\binom{11}{0} + \binom{11}{0} +...+\binom{11}{11} = 2^{11}$ ก็ได้
(ไม่หยิบเลย + หยิบ 1 ตัว + ... + หยิบ 11 ตัว)
ถ้าหยิบอย่างมาก 2 ชิ้น จะหยิบได้ $\binom{11}{0} + \binom{11}{1} + \binom{11}{2} = 68$ วิธี
(ไม่หยิบเลย + หยิบ 1 ตัว + หยิบ 2 ตัว)
ดังนั้นข้อนี้จะตอบ 2048 - 68 = 1980 วิธี
-------
จะเห็นว่า ถ้าเราของของเราต่างกันหมด กับ ของของเรามีบางส่วนที่ซ้ำกันหรือเหมือนกัน เราจะได้คำตอบที่ต่างกัน
ดังนั้นถ้ามีของเหมือนกัน เราก็ต้องนับแบบของเหมือนกัน ถ้าของต่างกัน ก็ต้องนับแบบของต่างกันครับ ถ้ามีแยกว่า อันนี้นับ แบบ อันนี้นับ วิธี อ่านโจทย์เสร็จหนึ่งข้อคงต้องนั่งตีความอีกว่า วิธี กับ แบบ อะไรมันคืออะไรกันแน่ จะไม่ยิ่งสับสนไปกว่าเดิมหรือครับ.
