[กิตติ]

กลับมาทำข้อนี้ใหม่อีกรอบ

2. กำหนด $a^3 = b^3$ และ $a \not= b$

$ A = \frac{a}{a+b} + (\frac{a}{a+b})^2 + (\frac{a}{a+b})^3 + ... + (\frac{a}{a+b})^{2547}$

$B = \frac{b}{a+b} + (\frac{b}{a+b})^2 + (\frac{b}{a+b})^3 + ... + (\frac{b}{a+b})^{2547}$

จงหาค่าของ $-100(A+B)$

จะได้ว่า $a^2+ab+b^2=0 \rightarrow \frac{a+b}{a} =\frac{b}{a+b} $

$(\frac{-b}{a+b} )A=(\frac{a}{a+b})^{2548}-\frac{a}{a+b}$

$(-\frac{a+b}{a} )A=(\frac{a}{a+b})^{2548}-\frac{a}{a+b}$

$A=\frac{a^2}{(a+b)^2}-(\frac{a}{a+b})^{2549}$

$(\frac{-a}{a+b} )B=(\frac{b}{a+b})^{2548}-\frac{b}{a+b}$

$(-\frac{a+b}{b} )B=(\frac{b}{a+b})^{2548}-\frac{b}{a+b}$

$B=\frac{b^2}{(a+b)^2}-(\frac{b}{a+b})^{2549}$

$A+B=\frac{a^2+b^2}{(a+b)^2}-\left(\,(\frac{a}{a+b})^{2549}+(\frac{b}{a+b})^{2549}\right) $

$A+B=-1-\left(\,(\frac{a+b}{b} )(\frac{a}{a+b})^{2548}+(\frac{a+b}{a} )(\frac{b}{a+b})^{2548}\right)$

$(\frac{a}{a+b})^{2548}=(\frac{a}{b})^{1274} $ และ $(\frac{b}{a+b})^{2548}=(\frac{b}{a})^{1274}$

$A+B=-1-\left(\,(\frac{a}{b}+1 )(\frac{a}{b})^{1274}+(\frac{b}{a}+1 )(\frac{b}{a})^{1274}\right)$

$A+B=-1-\left(\,(\frac{a}{b})^{1275}+(\frac{a}{b})^{1274}+(\frac{b}{a})^{1275}+(\frac{b}{a})^{1274}\right)$

จาก $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=-1 $ จะได้ว่า $(\frac{a}{b})^{2n}+(\frac{b}{a})^{2n}=-1$
และ $(\frac{a}{b})^{3n}+(\frac{b}{a})^{3n}=2$

$A+B=-2$
$-100(A+B)=200$