เริ่มขี้เกียจพิมพ์ ...
เอาเเค่ outline เเล้วกันนะครับ ..
ข้อ 1. ผมจำได้ว่ามีเอกลักษณ์บางอย่างที่สามารถใช้ได้ .. เเต่ผมไม่เคยใช้เลยเพราะว่าจะใช้หลักการหา $x+y+z , xy+yz+zx$ กับ $xyz$ มาใช้ตลอด (ขี้เกียจอีก
)
จาก $x+y+z = 0$ จะได้ว่า $x^3 +y^3+z^3 = 3xyz = 3$ ทำให้ $xyz=1$
พิจารณา $(x^2+y^2+z^2)(x^3+y^3+z^3)=x^5+y^5+z^5-xyz(xy+yz+zx)$
ทำให้ได้ $xy+yz+zx=0$
จาก $x+y+z = 0 , xy+yz+zx=0 , xyz=1$ นั่นคือ $x,y,z$ เป็นรากของสมการ $t^3-1=0$
เเก้สมการออกมา ให้เป็น $x , y ,z$ เเล้วจัดเข้าเชิงขั้วยกกำลังหาคำตอบไป
ข้อ 2 เเนวนี้ปีหลังๆเจอเหลือเกินเนื่องจากข้อสอบ PAT1 จะชอบไปไหนก็ไม่รู้
กำหนดให้ $p(m) = mf(m) - 1$ จะได้ว่า $p(m) = 0$ เมื่อ $m=1,2,3,4,5,6,7,8,9$ เเละจาก $f$ เป็นพหุนามดีกรี $8$ ทำให้ $p$ เป็นพหุนามดีกรี $9$
$p(m) = a(m-1)(m-2)(m-3)...(m-9)$
$mf(m)-1 = a(m-1)(m-2)(m-3)...(m-9)$
$f(m) = \frac{{a(m-1)(m-2)(m-3)...(m-9)+1}}{m}$
เเต่เนื่องจาก $f(m)$ เป็นพหุนาม ดังนั้นถ้าหารออกมา มันจะต้องไม่มี พจน์ $\frac{1}{m}$ นี้อยู่
ดังนั้นจะได้ว่า $a = \frac{1}{9!} $
เอาไปเเทนค่าหาคำตอบ