แบบหยาบ ๆ ก่อนนะครับ ผมยังไม่ได้มองหาทางสวย ๆ แบบอื่น
แบบนี้จะผสมผสานเรขาคณิตวิเคราะห์ (Analytic geometry) กับ ตรีโกณมิติ(หรือรูปสามเหลี่ยมคล้าย)
แบบรูปสามเหลี่ยมคล้ายล้วน ๆ ผมลองคิดดูแล้วมันยังไม่สวยเท่าไรครับ.
สมมติว่าตั้งแกน x, y ที่จุด B โดยให้ BE = a, EA = b
ดังนั้นพิกัดของจุดต่าง ๆ คือ B(0, 0), E(0, a) และ A(0, a+b)
และเนื่องจาก EA = EA' ดังนั้น EA' = b และโดย ทบ. พีทาโกรัสจะได้ BA' = $\sqrt{b^2-a^2}$
และทำให้ได้ว่า $A'C = a+b-\sqrt{b^2-a^2}$
ความชันของ AA' คือ $-\frac{a+b}{b^2-a^2}$ แต่ EF ตั้งฉากกับ AA'
ดังนั้นความชันของ EF คือ $\frac{\sqrt{b^2-a^2}}{a+b}$
สมการเส้นตรงที่ผ่านจุด E และ F คือ $\frac{y-a}{x} = \frac{\sqrt{b^2-a^2}}{a+b}$
จะหาพิกัดของ F โดยแทน x = a+b จะได้ y = $a+\sqrt{b^2-a^2}$
แต่ว่าพิกัดของจุด D คือ (a +b, a+b) แสดงว่า $FD = a+b - a+\sqrt{b^2-a^2} = b - \sqrt{b^2-a^2}$
ดังนั้น $FD' = FD = b - \sqrt{b^2-a^2}$
ถ้าให้มุม $BEA' = \theta$ จะได้ว่า มุม $GFD' = \theta$ ด้วย
ดังนั้นในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก GFD' จะได้ $\frac{FD'}{FG} = \cos \theta = \frac{a}{b}$
ดังนั้น $FG = \frac{b}{a}(b-\sqrt{b^2-a^2})$
จึงได้ว่า $A'E + FG = b + \frac{b}{a}(b-\sqrt{b^2-a^2}) = \frac{b(a+b-\sqrt{b^2-a^2})}{a}$ ... (*)
แต่ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก A'CG เราจะมี $\frac{A'C}{A'G} = \cos \theta = \frac{a}{b}$
ดังนั้น $A'G = \frac{b}{a}A'C = \frac{b}{a}(a+b-\sqrt{b^2-a^2})$ ... (**)
เพราะฉะนั้น จาก (*) และ (**) แสดงว่า A'E + FG = A'G