การแปลง
$\forall x\in A, x\in B \equiv \forall x (x\in A \rightarrow x\in B)$
และ
$\exists x\in A, x\in B \equiv \exists x (x\in A\wedge x\in B) $ นั้น
เป็นความรู้ใหม่สำหรับผมเหมือนกันครับ เพราะไม่เคยเจอหนังสือเล่มไหนเขียนไว้เลย
และหาความสมมูลผ่านนิเสธ พบว่ามันสอดคล้องกันซะด้วย (แสดงให้ดูด้านล่าง)
เดิมที
$\displaystyle \sim \forall x\in A, x\in B \equiv \exists x\in A, x\not\in B$
$\displaystyle \sim \exists x\in A, x\in B \equiv \forall x\in A, x\not\in B$
อันนี้คือ fact ของการนิเสธ for all, for some อยู่แล้ว
ถ้าเราลองเอามาทดสอบ logic สีแดงดู พบว่า
$ \sim \forall x\in A, x\in B$
$\equiv \sim \forall x (x\in A \rightarrow x\in B)$ (ใช้ logic สีแดง)
$\equiv \exists x (x\in A \wedge x\not\in B)$
$\equiv \exists x \in A, x \not\in B$ (ใช้ logic สีแดง)
และ
$ \sim \exists x\in A, x\in B$
$\equiv \sim \exists x (x\in A \wedge x\in B)$ (ใช้ logic สีแดง)
$\equiv \forall x (x\not\in A \vee x\not\in B)$
$\equiv \forall x (x\in A \rightarrow x\not\in B)$
$\equiv \forall x\in A, x\not\in B $ (ใช้ logic สีแดง)
ซึ่งผลที่ได้ออกมาก็ไม่มีอะไรขัดแย้งกับ fact ดั่งเดิมของเรา ดูเหมือนจะไม่มีปัญหาอะไรใช่ไหมครับ
แต่จริงๆแล้ว
ถ้าเราลองสลับ logic กัน เป็น for all ใช้และ ส่วน for some ใช้ถ้าแล้ว
$\forall x\in A, x\in B \equiv \forall x (x\in A\wedge x\in B)$
และ
$\exists x\in A, x\in B \equiv \exists x (x\in A \rightarrow x\in B)$
แล้วลอง proof แบบด้านบนดูก็พบว่า logic ก็ consistent กันอยู่ดี (ซึ่งไม่ต้องเขียน proof ใหม่ก็ได้ แค่สลับสัญลักษณ์ for all กับ for some ของที่แสดงด้านบนก็พอ)
จะเห็นว่าปัญหาจริงๆอยู่ตรงที่ เราเอาตัวเชื่อมอะไรก็ได้ที่สมมูลกันในแง่นิเสธ (เพราะ for all เป็นนิเสธของ for some) มาใส่ในช่องว่าง ความคิดเห็นที่ 8 ของคุณเล็กอะครับ ดังนั้นก็กลายเป็นว่าเราอยากนิยาม $\forall x\in A, x\in B$ กับ $\exists x\in A, x\in B$ ยังไงก็ได้แล้วแต่เรา ขอให้มันไม่ขัดแย้งกันก็พอ
ทีนี้คำถามก็คือแล้วที่ถูกคืออะไรละ??
ตามความคิดเห็นของผมคือ หน้าที่ของ quantifier เป็นการทำให้ประโยคที่ตามมาชัดเจน ไม่กำกวม ว่าเรากำลังพูดถึงตัวอะไรอยู่ ซึ่งเราก็เอาใส่ไว้ในเซต A (ถ้าอิงสัญลักษณ์ด้านบน) เป็นเหมือนการบอกเซตของสิ่งที่สนใจ ไม่ได้เป็น logic อันใดแต่อย่างใด ดังนั้นการที่พยายามจะไปเชื่อมโยงมันกับ logic ของประโยคที่ตามมาผมคิดว่ามันผิดจุดประสงค์ของ quantifier
ดังนั้น สัญลักษณ์ $\forall x\in \varnothing , x\not\in \varnothing$ จึงไม่มีความหมาย เพราะมันไม่มีตัวให้พิจารณาอยู่ตั้งแต่แรกแล้ว (ไม่มีอะไรในเซตว่าง) ถ้าจะมีความหมายก็จะหมายถึง "ไม่มีอะไรให้พิจารณา" ดังนั้น ประโยคที่ตามมาจะเป็นอะไร ก็ตอบไม่ได้ว่าจริงหรือเท็จ เพราะไม่รู้ด้วยซ้ำว่าพูดถึงตัวอะไร ill-defined ที่สุด
กลับกัน $\forall x (x\in \varnothing \rightarrow x\not\in \varnothing)$ มีความหมาย
หมายถึง $\forall x\in Some Universe (x\in \varnothing \rightarrow x\not\in \varnothing)$
และเป็น vacuously true อย่างที่คุณกิตติบอก (เป็น $F\rightarrow F\equiv T$)
จะเห็นว่า เวลาเราไม่กำกับ Universe บอกหลัง for all, for some มีอยู่กรณีเดียว นั่นคือ เป็นที่รู้กันอยู่แล้วว่าที่กำลังพูดถึงตัวอะไรกันอยู่ ถ้าไม่ชัดเจนว่ากำลังพูดถึงอะไร ต้องมี Universe กำกับบอกเสมอ ไม่งั้นคนอ่านก็ไม่รู้ว่าพูดถึงตัวอะไรอยู่
ส่วน Russell's Paradox นั้น ผมเข้าใจว่า Russell เสนอขึ้นมาเพื่อแสดงให้เห็นความไม่สมบูรณ์ของ set theory ในสมัยนั้นเฉยๆ (สมัยนี้ไม่รู้) ซึ่งตอนหลังเข้าใจว่ามี Godel's Incompleteness Theorem ที่ครอบคลุมกว่า เพราะกล่าวถึง system ใดๆโดยทั่วไป ว่าไม่มีทางสมบูรณ์แบบไร้ข้อขัดแย้งได้
พูดถึง paradox ทาง logic มี version ที่ง่ายกว่าของ russell นั้น
ชื่อ Epimenides Paradox:
http://en.wikipedia.org/wiki/Epimenides_paradox
สนใจลองกดไปอ่านเพิ่มเติมนะครับ wiki เขียนไว้ดีแล้ว
