อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ นกกะเต็นปักหลัก
3.ถ้า p และ$8p^2+1$ เป็นจำนวนเฉพาะ แล้ว $8p^2+2p+1$ เป็นจำนวนเฉพาะ
4. จงพิสูจน์ว่ามีจำนวนเต็มบวก$\vartheta $ไม่จำกัดจำนวน ที่ทำให้ $10^\vartheta +3$เป็นจำนวนประกอบ
|
3. ให้ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ แบ่ง $p$ ออกเป็น 3 กลุ่ม $p$ ต้องอยู่ในรูปของ $3k$ ,$3k+1$ หรือ $3k+2$ จากโจทย์บอกว่า ทั้ง $p$ และ $8p^2+1$ เป็นจำนวนเฉพาะทั้งคู่ แต่ถ้า $p$ เป็นแบบ 2 แบบหลัง จะได้ว่า 3 หาร $8p^2+1$ ซึ่งขัดแย้งโจทย์ เพราะฉะนั้นถ้าจะมีจำนวนเฉพาะ $p$ ที่ทำให้ทั้ง $p$ และ $8p^2+1$ เป็นจำนวนเฉพาะทั้งคู่ $p$ ต้องอยู่ในรูปของ $p=3k$ ซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะได้แค่กรณี $k=1$ ก็จะได้ $8p^2+2p+1$ เป็นจำนวนเฉพาะ
4. ข้อนี้ไม่รู้ทำัยังไงแบบไม่ใช้มอดูโล ถ้าใช้ได้ ให้คิดถึงแบบฟอร์มของ 10 กำลังอะไรซักอย่างก่อน
เรารู้จากแฟร์มาว่า $10^p \equiv 10 \pmod p$ สำหรับ $(10,p)=1$ จะสามารถใช้ไอเดียของ $10^{p-1} \equiv 1 \pmod p$ ได้ โดยการเขียนตัวแปร $p$ ในรูปของ $n$
เริ่มจากให้ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะซักตัวที่ $p \mid 10^t+3$ บาง $t$ ดังนั้น $10^t+3 \equiv 0 \pmod p$ และจาก $10^{p-1} \equiv 1 \pmod p$ ยัดเยียดความเป็นอนันต์ให้มันซะสำหรับ $k \in \mathbb{N}$ จะได้ $10^{k(p-1)} \equiv 1 \pmod p$ จากสมมติตอนต้น $10^t+3 \equiv 0 \pmod p$ มันจะได้ $(10^t+3)(10^{k(p-1)})\equiv 0 \pmod p$ ซึ่งทำให้ $10^{k(p-1)+t}+3 \equiv 0 \pmod p$ ด้วย ดังนั้นได้ว่า $10^{k(p-1)+t}+3$ มี $p$ เป็นตัวประกอบ จากการที่ $10^t+3$ และ $10^{k(p-1)+t}+3$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่แตกต่างกันที่มี $p$ เป็นตัวประกอบร่วมกัน สามารถสรุปได้ว่า $10^{k(p-1)+t}+3$ เป็นจำนวนประกอบสำหรับ $k \in \mathbb{N}$ ดังนั้นมี $n$ ในรูป $k(p-1)+t$ อยู่เป็นอนันต์ที่สอดคล้องโจทย์