เรขา! ช่วยกันคิด
1. สามเหลี่ยมมุมฉากหนึ่งมีเส้นรอบรูป 60 นิ้ว และเส้นที่ลากจากมุมฉากมาตั้งฉากที่ด้านตรงข้ามยาว 12
จงหาค่าผลต่างความยาวด้านประกอบ
2. สามเหลี่ยม ABC มีจุด X บน AB ที่ทำให้ AX:XB = 3:5 ลาก XY//BC ตัด AC ที่ Y
ต่อ BY และลาก XZ//BY ตัด AC ที่ Z แล้ว จงหาอัตราส่วน [BYZX]:[ABC]
3. สี่เหลี่ยม ABCD แนบในครึ่งวงกลม มี AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง ต่อ AD และ BC ไปตัดกันที่ E
ต่อ AC,BD ตัดกันที่ F และต่อ EF ตัด AB ที่ G และตัดเส้นรอบวงที่ H
ถ้า GF=4 และ EF=5 แล้วจงหาความยาว GH
4. สามเหลี่ยม ABC มีมุม BAC เป็นสองเท่าของมุม ABC วงกลม O แนบนอกตรงข้ามมุม A
ต่อ AO ตัด BC ที่ P ถ้า AP=3 และ AB=5 แล้วจงหาความยาวด้าน AO
5. สี่เหลี่ยม ABCD แนบในวงกลมที่มีจุด O เป็นจุดศูนย์กลาง แส้นทะแยงมุม AC ตัดตั้งฉาก BD ที่ E
ถ้า AC=14, BD=16, OE=7 แล้วจงหาค่าของ $AE^2+BE^2+CE^2+DE^2$
6. วงกลม O มี XOY เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง คอร์ด AB แบ่งครึ่งและตั้งฉาก XO
วาดวงกลมที่มี AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางและตัด OY ที่ P ต่อ AP, BP ออกไปตัดเส้นรอบวงกลม O ที่ C, D ตามลำดับ
ถ้า BC=8 แล้วจงหาความยาว AB
7. วงกลมสองวงตัดกันที่ X,Y ต่างกัน เส้นสัมผัสร่าวมด้านจุด X สัมผัสวงกลมทั้งสองที่ A, B ตามลำดับ
ต่อ AX ตัดวงกลมอีกวงที่จุด D ต่อ DY ตัดวงกลมอีกวงที่จุด E และต่อ EX
ถ้ามุม AXB=130 องษา แล้วจงหาขนาดมุม AXE
8. จุด I, O เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมแนบใน, ล้อมรอบสามเหลี่ยม ABC ต่อ AI, BI, CI, BO
ถ้ามุม AIC=125 องศา และมุม IBO=10 องศา แล้วจงหาขนาดมุม BIC
9. สามเหลี่ยม ABC มีด้าน AB=18, BC=24, CA=30 ตามลำดับ แล้ว จงหาอัตราส่วน [ABC]:[IOG]
(I=incenter, O=circumcenter, G=centroid)
10. สามเหลี่ยม ABC มีจุด P, Q, R บนด้าน BC, CA, AB ที่ทำให้ BP:PC=CQ:QA=AR:RB=1:3
ต่อ AP, BQ, CR ตัดกันที่ X, Y, Z ตามลำดับ จงหาอัตราส่วน [XYZ]:[ABC]
11. สามเหลี่ยม ABC มี I เป้น incenter ต่อ AI ตัด BC ที่ X แล้วพิสูจน์ว่า (AB+AC):BC=AI:IX
12. สามเหลี่ยม ABC มีวงกลมแนบในสัมผัสด้าน BC, CA, AB ที่ X, Y, Z ตามลำดับ
ถ้า XY=XZ แล้วพิสูจน์ว่า $AC.XY^2 = 2AZ.CX^2$
13. สี่เหลี่ยมใดๆที่มีวงกลมแนบในและนอก ลากเส้นจากจุดสัมผัสวงกลมแนบในซึ่งอยู่ตรงข้ามกันแต่ละคู่
พิสูจน์ว่าสองเส้นนั้นตัดตั้งฉากกัน
14. สามเหลี่ยม ABC มุมแหลม มีวงกลมล้อมรอบรัศมี R และ AD, BE, CF เป็นเส้นตั้งฉากจากมุม A, B, C ตามลำดับ
พิสูจน์ว่าเส้นรอบรูปสามเหลี่ยมพีเดล DEF เท่ากับ $(sin2A+sin2B+sin2C)$
15. ABCD เป็นสี่เหลี่ยมที่มี AC, BD เป็นเส้นทะแยงมุม ถ้า $AC.BD=AB.CD+AD.BC$ แล้วพิสูจน์ว่า ABCD เป็น $concyclic$
(บทกลับ Ptolemy's theorem)
16. ให้ AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางวงกลม AM, BN เป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่ A, B ตามลำดับ
ให้ X เป็นจุดใดๆบนเส้นรอบวง ลากเส้นสัมผัสวงกลมที่ X ต่อออกไปตัด AM, BN ที่ C, D ตามลำดับ
พิสูจน์ $AB^2=4CX.XD$
17. ให้ ABC เป้นสามเหลี่ยมแนบในวงกลม O ถ้าคอร์ด AD ตั้งฉากกับ BC และคอร์ด BE ตั้งฉากกับ AC
ต่อ CD, CE, DE แล้วพิสูจน์ว่า CDE เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
10 พฤศจิกายน 2013 20:57 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ math ninja
|