ตามรูปเลยนะครับ
ให้ $BC$ ขนานกับ $DE$
ให้ $AB=a, AC=b, DE=d', AD=e$ และ $s=(a+b+c)/2$
สังเกตว่า $FE+CD=FC+ED=d+d'$ ดังนั้น
\begin{align*}\frac{d}{d'}=\frac{AB}{AE} &=\frac{a}{a+d+FE} \\
&=\frac{a}{a+d+d+d'-(e-b)} \\
&=\frac{a}{a+2d+d'-e+b} = \frac{b}{e} \\
&=\frac{a+b}{a+2d+d'+b} \\
&=\frac{2s-d}{2s+d+d'}
\end{align*}
ดังนั้น $d(2s+d+d')=d'(2s-d)$ ทำให้ได้ว่า $d'=d(2s+d)/(2s-2d)$ ดังนั้น $R/r=d'/d=(2s+d)/(2s-2d)$
ดังนั้น
\[R+r=r(\frac{R}{r}+1)=\frac{r(4s-d)}{2s-2d}=\frac{K(4s-d)}{s(2s-2d)}\]
โดยที่ $K$ คือพื้นที่ของสามเหลี่ยม $ABC$
เนื่องจาก
\begin{align*}a\left(\frac{4s-d}{2s-2d}\right) &= 2a+\frac{3ad}{2s-2d} \\
&= 2a+\frac{3ad}{a+b-d} \\
&= 2a+\frac{3ad}{a+\sqrt{a^2+d^2-2ad\cos{120^{\circ}}}-d} \\
&= 2a+\frac{3ad}{a+\sqrt{a^2+d^2+ad}-d} \\
&= 2a+\frac{(3ad)(\sqrt{a^2+d^2+ad}+d-a)}{a^2+b^2+ad-(d-a)^2} \\
&= 2a+\sqrt{a^2+d^2+ad}+d-a \\
&= 2s
\end{align*}
ดังนั้น
\[R+r=\frac{K(4s-d)}{s(2s-2d)} = \frac{1}{2}(ad\sin{120^{\circ}})\frac{(4s-d)}{s(2s-2d)}=\frac{\sqrt{3}}{2}d \]