อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by
แปะให้อีก 2 ข้อ ก่อนสอบสมาคม วันพรุ่งนี้
A. Simplify $ \sqrt{9-8\sin 50^{\circ}} - 4(1+\cos 80^{\circ}) $
B. ถ้า $ \sin A + \sin B +\sin C = \cos A+\cos B+ \cos C = 0$
หาค่า $ \cos^2A+ \cos^2B+ \cos^2C$
|
มาเสนอให้ดูอีกวิธีนึง ย่นวิธีทำได้พอสมควร
$3=cos^2A+cos^2B+cos^2C+sin^2A+sin^2B+sin^2C$
หา $sin^2A+sin^2B+sin^2C$ จาก $\frac{3}{2}-\frac{1}{2}(cos2A+cos2B+cos2C)$
ให้ $z_{1}=cosA+isinA$ , $z_{2}=cosB+isinB$ , $z_{3}=cosC+isinC$
มันก็จะได้ $z_{1}^2+z_{2}^2+z_{3}^2=(z_{1}+z_{2}+z_{3})^2-2(z_{1}z_{2}+z_{2}z_{3}+z_{3}z_{1})$
แต่จาก $(z_{1}z_{2}+z_{2}z_{3}+z_{3}z_{1})=z_{1}z_{2}z_{3}(\frac{1}{z_{1}}+\frac{1}{z_{2}}+\frac{1}{z_{3}})=z_{1}z_{2}z_{3}(\overline{z _{1}+z_{2}+z_{3}})=0$
เทียบส่วนจริงจะได้ $cos2A+cos2B+cos2C=0$
อีกวิธีในการหา $cos(A-B)$ ให้ $u,v,w$ เป็นเวกเตอร์ขนาดเป็น 1 หน่วย แทน $(cosA,sinA),(cosB,sinB),(cosC,sinC)$ ตามลำดับ
จาก $|u+v|^2=|w|^2$ กระจายและใช้กฎของ cos จะได้ $u \cdot v=cos(A-B)=-\frac{1}{2}$