ข้อ 35 (Me and Mr. Varodom (sophomore at USA) )
ขอตอบแบบใช้อาวุธหนักในมหาวิทยาลัย ผสมวิธี ม.ปลายตอนท้ายนะครับ
ดังนั้น ถ้าใครมีวิธีที่ โหดน้อยกว่านี้ ก็ post ได้ตามสะดวกครับ
--------------------------------------------------------------------
ข้อนี้ เราแบ่งเป็น 2 กรณี
กรณี 1: ถ้า $ 0 \not\in A $
จาก C-{0} เป็น group under multiplication , และ เงื่อนไขของ A finite set + closed under multiplication ดังนั้น A เป็น subgroup ของ C-{0} (Well-known lemma in group theory)
จะพิสูจน์ว่า A อยู่ใน form $ \{ 1, w, w^2 ,...,w^9 \}$ โดย $ w^{10} =1 $ (order ของ w เท่ากับ 10)
By contradiction สมมติให้ มี $w \neq 1 $ ที่ order ของ w ไม่เป็น 10
ดังนั้น order ของ w เป็น 2 or 5 นั่นคือ $ w= -1 $ or $ w^5 =1 $
เท่ากับว่า $ A=\{ 1, w,w^2,...w^4 ,-1,...\} $ เมื่อ $ w^5 =1$ ดังนั้น $ (-1)(w) =-w \in A $ และต่างจากสมาชิกก่อนหน้า
ดังนั้น order ของ -w = 5 $\Rightarrow (-w)^5 = -w^5 \neq 1 $ Contradiction
ดังนั้น A อยู่ใน form $ \{ 1, w, w^2 ,...,w^9 \}$ โดย $ w^{10} =1 $ (โดย order ของ w คือ 10)
ใน sense ของเรขาคณิต สามารถแทนสมาชิกใน A ด้วยจุดมุมของ regular 10-gons ในวงกลม 1 หน่วย
ดังนั้น f(A) ก็คือผลคูณความยาวเส้นทแยงมุมและด้านทั้งหมดของ regular 10-gons
ยึด 1 เป็นหลัก จากนั้นหา $ |1-w| \cdot |1-w^2|....\cdot|1-w^9| $
โดยพิจารณา $ z^9+z^8+...+z+1= (z-w)(z-w^2)....(z-w^9) $
แทน z=1 ได้ 10 จากนั้น rotate จุดมุมอื่นมาทับ 1 แล้วทำเหมือนเดิม พอคูณกันหมดจะได้ $10^{10} $
แต่ 1 เส้นถูกคูณ 2ครั้ง ก็เลยต้องถอด root จะได้ $ f(A) = \sqrt{10^{10}} $
กรณี 2: ถ้า $ 0 \in A $
ดังนั้น A-{0} เป็น subgroup ของ C-{0} เหมือนในกรณีที่ 1
ทำคล้ายกรณีที่ 1 จะได้ $ A = \{ 0 ,1,w,w^2,...,w^8 \} $ โดย $ w^{9} =1 \,\, , w \neq 1$
(ถ้าไม่จริง แสดงว่ามี order ของ g เท่ากับ 3 ซึ่งก็คือ $ \omega , \omega^2$ ทำให้สมาชิกใน A ไม่ถึง 10 )
ดังนั้น $ f(A)= \sqrt{9^9}$
สรุปว่า คำตอบข้อนี้ คือ $ \sqrt{10^{10}} + \sqrt{9^9}$
-----------------------------------------------------------------------------------
p.s. หวังว่าจะไม่มี flaw ในวิธีทำ
