ข้อ 30. นึกออกแต่วิธีแบบตรงไปตรงมาครับ (ซึ่งเหนื่อยมาก ตอนแก้สมการ diff กับ แยกตัวประกอบ)
โจทย้ให้หาค่าที่เป็นไปไปได้ของ $ \cos x +\cos y$ เมื่อ $ \tan x \cdot \tan y = 2$ และ $x,y$ เป็นมุมแหลม
จาก $ \tan x \cdot \tan y = 2 \Rightarrow \tan^2 x \cdot \tan^2 y = 4$
แทนเอกลักษณ์ $sec^2 \theta -tan^2\theta =1 $ จะได้ ท้ายที่สุด simplify เป็น $ \cos^2 x = \frac{\sin^2 y}{1+3\cos^2 y}$
ดังนั้น $ \cos x+ \cos y= \sqrt{\frac{1-cos^2 y}{1+3\cos^2 y}} + \cos y $
Take $ \cos^2 y = u$ ดังนั้น RHS = $ \sqrt{\frac{1-u}{1+3u}} + \sqrt{u} = f(u) $
สังเกตว่า $ u \in (0,1) \,\, , f(0) = f(1) =1$ และ f ต่อเนื่องใน [0,1]
พิจารณาค่าวิกฤตใน (0,1) โดย solve $ f'(u) =0 $
Simplify จนได้สมการ $ 16u = (1+3u)^3\cdot(1-u) \Rightarrow (3u-1)^3(u+1) =0$
แสดงว่ามีจุดเปลี่ยนโค้งจุดเดียวใน (0,1) ที่ $ u = \frac{1}{3}$ และ สังเกตว่า $f(\frac{1}{3}) > 1$
ดังนั้น All possible f(u) เมื่อ $ u \in (0,1)$ คือช่วง $( 1,f(\frac{1}{3}) ] = (1,\frac{2}{\sqrt{3}}] $
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว
|