ข้อ n^3+3^p ทำยังไงก็ไม่หลุดซะที 5-6 รอบละ
อันนี้เป็นข้อ 4 แบบไม่ใช้คอนกรูเอนซ์
claim1 : พิสูจน์ existance ของ $p_{i}$
เพราะว่า $10^p-10$ มี $10$ เป็นตัวประกอบ ดังนั้นมีบางจำนวนเต็ม $q_{i}$ ที่ทำให้ $10^p-10 = 10q_{i}$
สมมติว่ามี $p_{i} \in \mathbb{P}$ ที่ $p_{i} \mid q_{i}$ และ $p_{i}$ ไม่มีตัวประกอบเฉพาะร่วมกันกับ $2,5$
จะได้ว่า $10^p-10 =10p_{i}s_{i}$ บางจำนวนเต็ม $s_{i}$ จากนิยามการหารจะได้ว่า $10^p-10$ มี $p_{i}$ เป็นตัวประกอบ
claim2 : ถ้า $p_{i} \mid 10^{p-1}-1$ แล้ว $p_{i} \mid 10^{k(p-1)}-1$ เช่นกัน
จะพิสูจน์โดยการอุปนัย
จาก $10^p-10$ มี $p_{i}$ เป็นตัวประกอบ ต้องได้ว่า $10(10^{p-1}-1)$ มี $p_{i}$ เป็นตัวประกอบด้วย จากการที่ $p_{i}$ ไม่มีตัวประกอบร่วมกันกับ $2,5$ ดังนั้น $p_{i} \mid 10^{p-1}-1$
จากนิยามของการหาร จะได้ว่ามี $q_{i} \in \mathbb{N}$ ที่ทำให้ $10^{p-1}-1=p_{i}q_{i}$
สมมติสำหรับจำนวนเต็มบวก $k$
$10^{k(p-1)}-1=p_{i}q_{j}$ บาง $q_{j} \in \mathbb{N}$
พิจารณา $10^{(k+1)(p-1)}-1=10^{k(p-1)}\cdot 10^{p-1}-1=(p_{i}q_{j}+1)(p_{i}q_{i}+1)-1=p_{i}(q_{i}+q_{j}+p_{i}q_{i}q_{j})$
ดังนั้น $p_{i} \mid 10^{k(p-1)}-1$ โดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ claim 2 เป็นจริง
claim 3 แสดง existance ของ $p_{i}$
สมมติว่ามี $t \in \mathbb{N}$ ที่ $p_{i} \mid 10^t+3$ จะได้ว่า $p_{i} \mid (10^t+3)(10^{k(p-1)})$ แต่ว่า $p_{i} \mid (10^t+3)(10^{k(p-1)})=10^{k(p-1)+t}+3\cdot 10^{k(p-1)}=10^{k(p-1)+t}+3(p_{i}q_{j}+1)=10^{k(p-1)+t}+3+3p_{i}q_{j}$
เพราะว่า $p_{i} \mid (10^t+3)(10^{k(p-1)})$ ต้องได้ว่า $10^{k(p-1)+t}+3+3p_{i}q_{j}$ เช่นกัน
ดังนั้น $p_{i} \mid 10^{k(p-1)+t}+3$
จากข้อสมมติมี $t \in \mathbb{N}$ ที่ $p_{i} \mid 10^t+3$ เลือก $t=3$ และ $p_{i}=17$ ทำให้ $17 \mid 10^3+3$
พิจารณาค่าของ $10^t+3$ และ $10^{k(p-1)}+3$ ซึ่งทั้งสองจำนวนเป็นจำนวนเต็มบวกต่างกันที่มี $p_{i}$ เป็นตัวประกอบร่วมกัน
สรุปว่ามีจำนวนเต็มบวกในรูปของ $n=k(p-1)+t$ สำหรับ $k \in \mathbb{N}$ อยู่เป็นอนันตน์ที่ทำให้ $10^n+3$ เป็นจำนวนประกอบ
|