ให้ $x=A\hat BC$ และ $a=MB$ ดังนั้น $0<x<\dfrac{\pi}{2}$
จาก $(\sqrt{3}\sin x+\cos x)^2+(\sin x-\sqrt{3}\cos x)^2=4$
จะได้ $\sqrt{3}\sin x+\cos x\le2$
นั่นคือ $\dfrac{\sin x}{2-\cos x}\le\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
และพื้นที่สี่เหลี่ยม $BMNC$ คือ $f(a,x)=(3t-2a+a\cos x)(a\sin x)$
จะได้ว่า $f(a,x)=-\sin x(2-\cos x)\left(a-\dfrac{3t}{2(2-\cos x)}\right)^2+\dfrac{9t^2}{4}\cdot\dfrac{\sin x}{2-\cos x}\le\dfrac{3\sqrt{3}}{4}t^2$
และ $f(t,\dfrac{\pi}{3})=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}t^2$
ดังนั้นค่าสูงสุดของ $f(a,x)$ คือ $\dfrac{3\sqrt{3}}{4}t^2$
|