[Thgx0312555]

มาลองพิสูจน์ดูครับ

ให้ $S(x)$ แทนผลบวกของหลักของ $x$
ให้ $2 \ | \ x$

ก่อนอื่นจะพิสูจน์เอกลักษณ์ $S(\dfrac{x}{2})=\dfrac{S(x)-O(x)}{2}+5O(x)$ เมื่อ $O(x)$ เป็นจำนวนหลักที่เป็นคี่ของ $x$

ให้ $x=\overline{x_1x_2...x_n}=\overline{y_1y_2...y_n}+\overline{z_1z_2...z_n}$

$y_i$ เป็นจำนวนคู่ที่มากที่สุดที่ไม่เกิน $x_i$
$z_i = x_i \pmod 2$

เช่น $6125432=6024422+101010$

จะได้
$\dfrac{x}{2} = \overline{\dfrac{y_1}{2}\dfrac{y_2}{2}...\dfrac{y_n}{2}}+\overline{(5z_1)(5z_2)...(5z_{n-1})}$
เช่น $3062716=3012211+50505$

$\dfrac{x}{2} = \overline{\dfrac{y_1}{2}(\dfrac{y_2}{2}+5z_1)...(\dfrac{y_n}{2}+5z_{n-1})}$
ไม่มีหลักใดต้องทด

$S(\dfrac{x}{2})=\dfrac{y_1}{2}+\dfrac{y_2}{2}+\cdots+\dfrac{y_n}{2}+5z_1+5z_2+\cdots+5z_{n-1}$
จะได้ว่า $S(\dfrac{x}{2})=\dfrac{S(x)-O(x)}{2}+5O(x)$ เมื่อ $O(x)$ เป็นจำนวนหลักที่เป็นคี่ของ $x$

พิสูจน์ไม่ยากว่า $S(2(a+b+c)) =9$
$S(a+b+c)=\dfrac{S(2(a+b+c)))-O(2(a+b+c))}{2}+5O(2(a+b+c))$

มีหลักเป็นจำนวนคี่ใน $2(a+b+c)$ ได้ 1 หรือ 3 หลัก (เพราะผลบวกทุกหลักได้ 9)
แทนค่า $S(2(a+b+c)) =9, O(2(a+b+c))=1,3$ จะได้ $S(a+b+c)=9,18$

ดังนั้น $S(a+b+c) \le 18$