วิธีคิดของผมค่อนข้างมั่วๆหน่อย คุณAmankrisช่วยแก้ไขให้มันเป็นหลักเป็นเกณฑ์หน่อยก็ดีครับ
ผมคิดอย่างนี้ จาก $p^3+q^3+1=p^2q^2......(1)$
$(p+q)(p^2-pq+q^2)=(pq-1)(pq+1)$
$p,q\in \mathbf{I^+}$ และ $pq+1>pq-1$ และ $p^2-pq+q^2>p+q$
ให้ $p^2-pq+q^2=pq+1$
$p^2-2pq+q^2=1$
$(p-q)^2=1\rightarrow p-q=\pm 1$ ดังนั้น $p=q\pm 1$
แทน $p=q-1$ ในสมการ(1) จะได้ $(q-1)^3+q^3+1=(p-1)^2q^2$
$q^4-4q^3+4q^2-3q=q(q-3)(q^2-q+1=0$
$q=0,3,z\rightarrow \therefore q=3$ ใช้ได้ตัวเดียว
แทน $p=q+1$ ในสมการ(1) จะได้ $(q+1)^3+q^3+1=(q+1)^2q^2 $
$2q^3+3q^2+3q+2=q^4+2q^3+2q^2$
$q^4-q^2-3q-2=(q-2)(q+1)(q^2+q+1)=0$
$q=2,-1,z\rightarrow \therefore q=2$ ใช้ได้ตัวเดียว ไม่มีจำนวนเฉพาะอื่น
|