ผมมีความเห็นว่าข้อความนี้ไม่จริงนะครับ (เช่น $3*12=4*9$)
$a,b,c,d \in \mathbb{N}$ และ $a<b$ และ $c<d$ ถ้า $ab=cd$ แล้ว $b=d$
ส่วนวิธีทำที่คุณ Thamma ถามมา
จากโจทย์จัดรูปเป็น $(p+q)(p^2-pq+q^2)=(pq-1)(pq+1)$
สมมติให้ $d$ เป็นตัวหารร่วมมากของ $pq-1,pq+1$
โดยยูคลิด $(pq-1,pq+1)=(pq-1,2)=d$ หมายความว่า $d=1,2$ เท่านั้น
กรณีที่ 1 $d=2$
จะได้ว่า $2\mid pq-1$ และ $2\mid pq+1$
ให้ $pq-1=2m$ และ $pq+1=2k$ โดยที่ $(m,k)=1$
จับบวกกัน ได้ $pq=m+k$ จะได้ว่า $4km=(pq-1)(pq+1)=(m+k-1)(m+k+1)$
จากนั้นให้ $m+k=t$ และ $mk=s$ สมการข้างบนจะเป็น $t^2-1=4s$
สังเกตว่า $m,k$ จะเป็นรากของสมการ $x^2-tx+s=0$ แทน $s=\frac{t^2-1}{4}$
จากสูตรสมการกำลังสองจะได้ว่า $x=t-1,t+1$
หรือ $m,k \in \left\{\,m+k-1,m+k+1\right\}$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้
กรณีที่ 2 $d=1$
แสดงว่า $pq-1,pq+1$ ไม่มีตัวประกอบร่วมกันนอกจาก 1
จากสมการโจทย์ได้ว่า $p^2-pq+q^2 \mid (pq-1)(pq+1)$
มันจะได้ $p^2-pq+q^2$ ต้องหารตัวใดตัวหนึ่งลง แล้วใช้อสมการพิจารณา
จะได้ว่า $p^2-pq+q^2 \leq pq+1$ แล้วทำต่อจากความเห็นข้างบน
|