[สอวน. มอ. หาดใหญ่ 2556] ข้อสอบคัดตัวแทนศูนย์ สอวน.มอ.หาดใหญ่ 56
$Inequality$
จงแสดงว่า
$1. \frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\geqslant \frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}$
$2.6abc\leqslant ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$
$3.\frac{a^2}{2}+\frac{b^3}{3}+\frac{c^6}{6} \geqslant abc$
$Functional$ $Equations$
1.จงหาพหุนาม $p(x)$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ
$p(x+2y)=p(x)+2p(y)-6$ , $\forall x,y\in \mathbb{R} $
2.จงหาฟังก์ชั่นทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ
$f(m+2n)=f(2m)+f(n)$ ,$\forall m,n\in \mathbb{N}\cup \left\{\,0\right\} $
3.จงหาฟังก์ชั่นทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ
$f(2xf(x)+f(y))=y+(f(x))^2+xf(x)$ ,$\forall x,y\in \mathbb{R} $
$Combinatorics$
1.แจกของเหมือนกัน 12 ชิ้น ให้เด็ก 3 คน จงหาจำนวนวิธีที่คนใดคนหนึ่งได้ของน้อยกว่าผลรวมของคนที่เหลือ
2.จงหาจำนวนวิธีการสร้างคำ 10 คำจากอักษร C O U N T โดยที่ผลรวมของจำนวนสระเป็นจำนวนคู่
3.ให้ $A=\left\{\,i,j\in \mathbb{N} \left|\,\right. 2^i 3^j\right\}$ จงแสดงว่า เมื่อสุ่มหยิบสิบสามจำนวนจาก A จะได้ผลคูณของสามจำนวนเป็นจำนวนกำลังสามสมบูรณ์
4.ให้ สี่เหลี่ยม ABCD (เป็นภาพนะครับ) กบตัวหนึ่งต้องการกระโดดจาก A ไป C โดยที่การกระโดดแต่ละครั้งต้องกระโดดไปที่จุดที่อยู่ข้างๆเท่านั้นและจะกระโดดไม่ได้อีกเมื่อไปที่จุด C จงหาจำนวนวิธีในการกระโดดโดยเริ่มที่จุด A และไปหยุดที่จุด C โดยกระโดดไปทั้งหมด 2014 ครั้ง
$Plane$ $Geometry$
1.ให้ P เป็นจุดภายใน สามเหลี่ยม ABC ลาก CP ไปตัด AB ที่จุด F
จงแสดงว่า $\frac{\Delta APC}{\Delta BPC } = \frac{AF}{BF}$ โดยที่ $\Delta ABC$ คือ พื้นที่รูปสามเหลี่ยม ABC
2.จากข้อ 1. จงพิสูจน์ ทฤษฏีบทของ เชวา
3.จงพิสูจน์บทกลับของทฤษฏีบทของ เชวา
4.สามเหลี่ยม ABC มี B เป็นมุมฉาก ให้ D เป็นจุดบนด้าน AC ที่ทำให้ AB = DC จงแสดงว่า เส้นแบ่งครึ่งมุม A และเส้นมัธยฐานที่ลากจาก B ตัดกันที่จุดจุดหนึ่ง
$Number$ $Theory$
1.จงหาเศษเหลือจากการหาร $2^{2014}$ ด้วย $6$
2.จงหาจำนวนนับ $n$ ทั้งหมดที่ทำให้ $n!+3$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์
3.จงหาจำนวนนับ $n$ ทั้งหมด ที่มีตัวประกอบเฉพาะอย่างน้อย 2 จำนวน และมีค่าเท่ากับผลบวกของตัวหาร 3 ตัวแรก
4.ให้ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ จงแสดงว่า มีจำนวนเต็มบวก $n$ ซึ่ง
$7\cdot 3^n+2^n-6^n \equiv 1 \pmod{p} $
5.ให้ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ จงหาจำนวนเต็มบวก k ที่มากที่สุด ซึ่ง $k\left.\,\right| p^9-p$ ,สำหรับทุกจำนวนเฉพาะ $p$
$Trigonometry$
1.จงหาค่าของ $\sum_{n = 45}^{89} \frac{1}{sin(n+1)sin(n)} $
2.จงหาค่าของ $cosA$ เมื่อ $arcsin(cotA)+arccos(cotA)+arctan(sinA)$= $\frac{\pi }{3}$
17 เมษายน 2015 13:42 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ FranceZii Siriseth
|