อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Yo WMU
อยากทราบวิธีพิสูจน์สูตรนี้ครับ
$ \sqrt{a+\sqrt{a-\sqrt{a+\sqrt{a-...} } } } = \frac{1+\sqrt{4a-3} }{2} $
ฝากท่านผู้รู้ช่วยแสดงวิธีทำด้วยครับ ขอบคุณครับ
|
ให้ $x = \sqrt{a+\sqrt{a-\sqrt{a+\sqrt{a-...} } } }$
จะเห็นว่า $x = \sqrt{a+\sqrt{a-x}}$
ยกกำลังสอง $x^2 - a = \sqrt{a-x}$ แสดงว่า $x^2 - a \ge 0 ... (*)$
ให้ $y = \sqrt{a-x}$ จะได้
$x^2 = a + y ... (1)$ และ
$y^2 = a - x ... (2)$
(1)-(2) , $(x-y)(x+y) = (y+x)$
$(x+y)(x-y-1) = 0$
$x+y = 0$ เป็นไปไม่ได้
ดังนั้น $y = x-1$ เท่านั้น แทนลงใน (1) จะได้
$x^2 -x + 1-a = 0 ... (**)$ แล้ว $x = \frac{1 \pm \sqrt{4a-3}}{2}$
แต่จาก (*) $x^2 - a \ge 0$ ดังนั้นจาก (**)
$x^2 - a = x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$
เห็นได้ชัดว่า $x = \frac{1 - \sqrt{4a-3}}{2} < 1$
ดังนั้น $x = \frac{1 + \sqrt{4a-3}}{2}$ เท่านั้น