[น้องเจมส์]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

เพิ่งได้อ่านหนังสือทฤษฎีจำนวนของโครงการสอวน.ครับเลยจำได้ว่ามีโจทย์ปัญหาคาใจอยู่ข้อนึงที่ solve (ด้วยวิธีธรรมดา) ไม่ได้ซักที เลยเอามาถามดูเผื่อว่าใครจะมีวิธีพิสูจน์ง่ายๆมาแลกเปลี่ยนครับ

โจทย์ ให้ a,b เป็นจำนวนนับซึ่ง a|b², b²|a³,a³|b⁴,...
จงพิสูจน์ว่า a = b

My Solution

ถ้า a = 1 หรือ b = 1 เห็นได้ชัดว่าจริง
สมมติว่า a,b>1
ให้ p เป็นตัวประกอบเฉพาะของ a จะได้ว่า p|a และ a|b² ดังนั้น p|b² ซึ่งจะได้ว่า p|b
ในทำนองเดียวกัน ถ้า q เป็นตัวประอบของ b เราจะได้ว่า q|b² และ b²|a³ ดังนั้น q|a³ ซึ่งจะได้ว่า q|a
ดังนั้น a และ b มีตัวประกอบเฉพาะชุดเดียวกัน
สมมติให้
\[ \Large{ a = p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}\dots p_{k}^{a_{k}} }\]
\[ \Large{ b = p_{1}^{b_{1}}p_{2}^{b_{2}}\dots p_{k}^{b_{k}} } \]

เนื่องจาก a^2n-1|b²ⁿ ทุกค่า nณ1 เราจะได้ว่า
\[ \Large{ a_{i} \leq \frac{2n}{2n-1} b_{i} } \]
ทุกค่า i=1,...,k และทุกค่า nณ1
ดังนั้น \( \Large{ a_{i} \leq b_{i} } \) ทุกค่า i
นั่นคือ a|b ..........................(#)

เนื่องจาก b²ⁿ|a²ⁿ⁺¹ ทุกค่า nณ1 เราจะได้ว่า
\[ \Large{ b_{i} \leq \frac{2n+1}{2n} a_{i} } \]
ทุกค่า i=1,...,k และทุกค่า nณ1
ดังนั้น \( \Large{ b_{i} \leq a_{i} } \) ทุกค่า i
นั่นคือ b|a ..........................(##)
เพราะฉะนั้น a = b

\[ \Large{ b_{i} \leq \frac{2n+1}{2n} a_{i} } \]
\[ \Large{ a_{i} \leq \frac{2n}{2n-1} b_{i} } \]
สองบรรทัดนี้มาจากใหนอ่ะครับ