[SixGoldsForThailand]

สวัสดีครับ คุณPURE MATH

ผมเข้าใจว่าคุณคงหมายถึง Gaussian integers $\mathbb{Z}[i]$ ใช่ไหมครับ ถ้าอย่างนั้นผมขออนุญาตอธิบายดังนี้ครับ

สำหรับ Ring of integers $\mathbb{Z}[i]$ ใน Number field $\mathbb{Q}[i]$ เราจะเรียกจำนวน $p \in \mathbb{Z}[i]$ ว่าเป็นจำนวนเฉพาะ ก็ต่อเมื่อ
\[
\forall \alpha, \beta \in \mathbb{Z}[i], \text{ if } p | \alpha \beta \text{, then } p | \alpha \text{ or } p | \beta
\]
เราสามารถกระจายตรงๆได้เลยครับ นั่นคือเขียน $\alpha = a+bi$, $\beta = c+di$ สมมติว่า $3| \alpha \beta$ นั่นคือ $3|(a+bi)(c+di)$ ฉะนั้น $3|ac-bd$ และ $3|ad+bc$ เราก็เริ่มแบ่งเคสครับ

Case I: $3|a$
ถ้า $3|a$ และ $3|b$ ก็จบทันทีครับ เพราะจะได้ $3|a+bi = \alpha$
สมมติ $3 \nmid b$ แต่เราทราบว่า $3|ac-bd, ad+bc$ ดังนั้น $3|c,d$ ก็จบเช่นกัน

Case II: $3 \nmid a$
สังเกตว่า $3|c(ac-bd)+d(ad+bc) = a(c^2+d^2)$ ฉะนั้น $3|c^2+d^2$ จึงได้ว่า $3|c,d$ แสดงว่า $3| \beta$. ตามที่ต้องการแสดงครับผม

ถ้าผมอธิบายไม่ชัดเจนตรงไหน ถามมาได้เลยนะครับผม

สวัสดีครับ